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,第十二章 概率、随机变量及其概率分布,12.2 古典概型,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,审题路线图系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)所有的基本事件 ； (2)每个基本事件的发生都是 .,互斥,基本事件,只有有限个,等可能的,知识梳理,1,答案,3.如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 ，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A) .,4.古典概型的概率公式,P(A) .,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( ) (3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型.( ),思考辨析,答案,(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( ) (5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( ) (6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为 .( ),答案,1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_.,解析 基本事件的总数为6， 构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.(2014陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为_. 解析 取两个点的所有情况为10种， 所有距离不小于正方形边长的情况有6种，,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_. 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_. 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6636种可能的结果， 其中点数相同的结果共有6个，,解析答案,1,2,3,4,5,5.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是_. 解析 从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种， 其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，,1,2,3,4,5,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等， 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.,题型一 基本事件与古典概型的判断,解析答案,(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解 由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件， 分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”， 又因为所有球大小相同，,显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.,解析答案,思维升华,一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.,思维升华,下列试验中，是古典概型的个数为_. 向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； 向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合； 从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； 在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率. 解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型. 的基本事件都不是有限个，不是古典概型. 符合古典概型的特点，是古典概型问题.,1,跟踪训练1,解析答案,例2 (1)(2015广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个 红球的概率为_.,题型二 古典概型的求法,解析答案,(2)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.,设取出两只球颜色不同为事件A.,解析答案,(3)(2014四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. 求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；,解析答案,解 由题意知，(a，b，c)所有的可能为 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，,则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.,求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 解 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，,解析答案,1.本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率. 解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A， 则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，,引申探究,解析答案,2.本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率.,解析答案,思维升华,求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.,思维升华,将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率； (2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的外部或圆上的概率.,跟踪训练2,解析答案,解 由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n6636种等可能结果，为古典概型. (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，,解析答案,(2)点(x，y)在圆x2y215的内部记为事件C，,又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种.,例3 从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为_ kg；若要从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为_.,题型三 古典概型与统计的综合应用,解析答案,思维升华,解析 由频率分布直方图可知，体重在40,50)内的男生人数为0.005101005， 同理，体重在50,60)，60,70)，70,80)，80,90内的人数分别为35,30,20,10，,利用分层抽样的方法选取12人，,思维升华,有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点.概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.,思维升华,(2014山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商 品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.,(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是,所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.,跟踪训练3,解析答案,(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.,解析答案,返回,解 设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为： A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个. 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.,记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个.,解析答案,返回,审题路线图系列,典例 (14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率.,审题路线图系列,六审细节更完善,温馨提醒,返回,审题路线图,解析答案,审题路线图 (1)基本事件为取两个球 (两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4 两球编号之和不大于4 (注意：和不大于4，应为小于4或等于4) 1,2，1,3,温馨提醒,审题路线图,解析答案,利用古典概型概率公式求解,(2)两球分两次取，且有放回 (两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4),温馨提醒,审题路线图,解析答案,(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号) nm2的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) 计算nm2的概率 nm2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) ,温馨提醒,解析答案,规范解答 解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个. 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1,2，1,3,2个.,(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后， 再从袋中随机取一个球，记下编号为n， 其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个. 8分,温馨提醒,解析答案,又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，,故满足条件nm2的事件的概率为,温馨提醒,(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善.如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4，即两球编号之和小于或等于4等；第(2)问，有先后顺序. (2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏.同时要注意细节，如用列举法，第(1)问写成1,2的形式，表示无序，第(2)问写成(1,2)的形式，表示有序.(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题.如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件.在第(2)问中，由于不能将求事件nm2的概率转化成先求nm2的概率，导致数据复杂、易错.所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求.,返回,温馨提醒,思想方法 感悟提高,1.古典概型计算三步曲 第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个. 2.确定基本事件的方法 (1)当基本事件总数较少时，可列举计算； (2)列表法、树状图法. 3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.,方法与技巧,1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的. 2.概率的一般加法公式： P(AB)P(A)P(B)P(AB). 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求AB的概率，当AB时，A、B互斥，此时P(AB)0，所以P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算P(AB)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为_. 解析 从15个球中任取一球有15种抽法，抽到白球有6种，,解析答案,2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_.,解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人， 所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种， 其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.2015年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(1,1)的夹角90的概率是_. 解析 (m，n)(1,1)mnn. 基本事件总共有6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)， 共1234515(个).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_. 解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_.,解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222. 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112. 所以基本事件共有8种.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m_.,解析 112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出现次数最多.,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3). (1)求使得事件“ab”发生的概率； 解 由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6， 故(m，n)所有可能的取法共36种. ab，即m3n0， 即m3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率. 解 |a|b|，即m2n210， 共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； 解 由分层抽样定义知，,故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率. 解 记“抽到小学、中学各一所”为事件A，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_.,解析 如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机 选4个顶点，,可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形， 有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种. 若要构成矩形，只要选相对顶点即可，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即n29n80，(n1)(n8)0(n2)，因此n8，,解析答案,其展开式中的有理项共有3项，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_. 解析 基本事件数为6636， 编号之和为4的有：10种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3)，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；,解 方片4用4表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种不同的情况.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？,解 甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由.,解 甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共5种情况.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,15.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数；,则n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3个白球.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求取球2次即终止的概率； 解 设事件A为“取球2次即终止”. 取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)求甲取到白球的概率. 解 设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai， i1,2,3,4,5， 因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球. 所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,
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