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,第十二章 概率、随机变量及其概率分布,12.1 随机事件的概率,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A) 为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的 会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个 称为随机事件A的概率，记作P(A).,频率,常数,知识梳理,1,答案,2.事件的关系与运算,包含,BA,AB,并事件,答案,事件A发生,事,件B发生,答案,3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E) . (3)不可能事件的概率P(F) . (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB) . (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) .,0P(A)1,1,0,P(A)P(B),1P(B),答案,互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.,知识拓展,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.( ) (6)两互斥事件的概率和为1.( ),思考辨析,答案,1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_. 至多有一次中靶 两次都中靶 只有一次中靶 两次都不中靶,解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为_.,解析 因为必然事件发生的概率是1， 所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3.,0.3,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015湖北改编)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为_石.,169,解析答案,1,2,3,4,5,4.给出下列三个命题，其中正确的命题有_个. 有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是 ；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.,解析 错，不一定是10件次品；,错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.,0,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为_.,解析 是互斥不对立的事件， 是对立事件， 不是互斥事件.,1,2,3,4,5,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件. (1)A与C；,解 由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”， 即事件A与事件C有可能同时发生， 故A与C不是互斥事件.,题型一 事件关系的判断,解析答案,(2)B与E；,解 事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件. 由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生， 故B与E还是对立事件.,解析答案,(3)B与C；,解 事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”， 事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生， 故B与C不是互斥事件.,解析答案,(4)C与E.,解 由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能， 即事件C与事件E有可能同时发生， 故C与E不是互斥事件.,解析答案,思维升华,对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件.这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系.,思维升华,判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 恰有1名男生和恰有2名男生；,解 是互斥事件，不是对立事件. “恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生， 所以是互斥事件，不是对立事件.,跟踪训练1,解析答案,至少有1名男生和至少有1名女生；,解 不是互斥事件，也不是对立事件. “至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果， “至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生.,解析答案,至少有1名男生和全是女生. 解 是互斥事件且是对立事件. “至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”， 它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件， 所以两个事件互斥且对立.,解析答案,例2 (2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.,题型二 随机事件的频率与概率,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；,解 从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，,解析答案,(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；,解 从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.,解析答案,(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 与(1)同理，可得：,所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.,解析答案,思维升华,(1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.,思维升华,某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：,跟踪训练2,(1)计算表中乒乓球优等品的频率；,(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位),解 由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动， 所以质量检查为优等品的概率约为0.950.,解析答案,命题点1 互斥事件的概率,题型三 互斥事件、对立事件的概率,解析答案,解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有,解析答案,又总球数是12，所以绿球有12453(个).,所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个). 所以黑球有124323(个).,命题点2 对立事件的概率,例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)；,解析答案,(2)1张奖券的中奖概率；,解 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC. A、B、C两两互斥，,解析答案,(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 解 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，,解析答案,思维升华,求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P( )求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.,思维升华,国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：,求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率.,跟踪训练3,解析答案,返回,解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥. (1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生， 由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60. (2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，,又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得 P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.,因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.,返回,思想与方法系列,典例 (14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；,思想与方法系列,22.用正难则反思想求互斥事件的概率,解析答案,思维点拨,温馨提醒,返回,易错提示,思维点拨 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.,解析答案,温馨提醒,易错提示,规范解答 解 (1)由已知得25y1055，x3045， 所以x15，y20. 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为,解析答案,温馨提醒,易错提示,(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”， A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，,温馨提醒,易错提示,(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义. (2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.,易错提示,温馨提醒,(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.,返回,易错提示,思想方法 感悟提高,1.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,方法与技巧,1.正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.下列命题：将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件，其中，真命题是_.,解析答案,解析 对，一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故错； 对，对立事件首先是互斥事件，故正确； 对，互斥事件不一定是对立事件，如中两个事件，故错； 对，事件A、B为对立事件，则一次试验中A、B一定有一个要发生，故正确. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A， “从中取出2粒都是白子”为事件B， “任意取出2粒恰好是同一色”为事件C， 则CAB，且事件A与B互斥.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_.,解析 “抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件， 所求概率1P(A)0.35.,0.35,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：,则取到号码为奇数的卡片的频率是_.,解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：1356181153，,0.53,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 设区间25,30)对应矩形的另一边长为x， 则所有矩形面积之和为1， 即(0.020.040.060.03x)51，解得x0.05. 产品为二等品的概率为0.0450.0550.45. 答案 0.45,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： 在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； 在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； 在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品. 其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.,答案 0.25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a， P(B)4a5，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.(2014陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；,解 设A表示事件“赔付金额为3 000元”， B表示事件“赔付金额为4 000元”， 以频率估计概率得,由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，,由频率估计概率得P(C)0.24.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求第七组的频率；,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 身高在第一组155,160)的频率为0.00850.04， 身高在第二组160,165)的频率为0.01650.08， 身高在第三组165,170)的频率为0.0450.2， 身高在第四组170,175)的频率为0.0450.2， 由于0.040.080.20.320.5， 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170m175. 由0.040.080.2(m170)0.040.5，得m174.5， 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5. 由直方图得后三组频率为0.080.060.00850.18， 所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18800144.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E|xy|5，事件F|xy|15，求P(EF).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 第六组180,185)的人数为4， 设为a，b，c，d，第八组190,195的人数为2，设为A，B， 则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况， 因事件E|xy|5发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，,解析答案,由于|xy|max19518015， 所以事件F|xy|15是不可能事件，P(F)0. 由于事件E和事件F是互斥事件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是_. AB与C是互斥事件，也是对立事件； BC与D是互斥事件，也是对立事件； AC与BD是互斥事件，但不是对立事件； A与BCD是互斥事件，也是对立事件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一 个必然事件， 故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件， 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，正确. 答案 ,12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评 中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙 的平均成绩的概率为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 记其中被污损的数字为x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机 抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果 如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；,解 由已知共调查了100人， 其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)， 故用频率估计相应的概率为0.44.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；,解 选择L1的有60人，选择L2的有40人，,故由调查结果得频率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 解 设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲应选择L1； 同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B1)P(B2)，乙应选择L2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,15.(2015陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；,解 在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，,以频率估计概率，4月份任选一天，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.,解 称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)， 这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,
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