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,第十二章 推理与证明、算法、复数,12.1 合情推理与演绎推理,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,高频小考点,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.合情推理 (1)归纳推理 定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法). 特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理. (2)类比推理 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法). 特点：类比推理是由 到 的推理.,部分,个别,特殊,特殊,知识梳理,1,答案,(3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.,一般,特殊,答案,(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 大前提已知的 ； 小前提所研究的 ； 结论根据一般原理，对 做出的判断.,一般原理,特殊情况,特殊情况,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*).( ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ),思考辨析,答案,1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.,解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值， 从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和， 依据此规律，a10b10123.,123,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_. 使用了归纳推理； 使用了类比推理； 使用了“三段论”，但推理形式错误； 使用了“三段论”，但小前提错误.,解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2014福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2，b2，c0有且只有一个正确，则100a10bc_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：,所以解得ab1，c0，或a1，bc0，或b1，ac0，与互异性矛盾；,解析答案,1,2,3,4,5,所以100a10bc201.,答案 201,1,2,3,4,5,4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_,解析答案,1,2,3,4,5,解析 两个正三角形是相似的三角形， 它们的面积之比是相似比的平方 同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方， 它们的体积比为18.,18,5.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3b4bn_.,b1b2b3b4b17n (n17，nN*),1,2,3,4,5,答案,返回,题型分类 深度剖析,命题点1 与数字有关的等式的推理,例1 (2015陕西)观察下列等式：,， 据此规律，第n个等式可为_.,题型一 归纳推理,解析答案,解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错， 故第n个等式左边有2n项且正负交错，,等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，,命题点2 与不等式有关的推理,解析 第一个式子是n1的情况，此时a111； 第二个式子是n2的情况，此时a224； 第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.,nn,解析答案,命题点3 与数列有关的推理,正方形数 N(n,4)n2，,六边形数 N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.,解析答案,解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：,答案 1 000,命题点4 与图形变化有关的推理,例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120，依此规律得到n级分形图.,(1)n级分形图中共有_条线段；,解析 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图中有3(323)条线段， 二级分形图中有9(3223)条线段， 三级分形图中有21(3233)条线段， 按此规律n级分形图中的线段条数an(32n3) (nN*).,32n3,解析答案,(2)n级分形图中所有线段长度之和为_.,解析答案,思维升华,归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.,思维升华,(1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_.,解析 由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和， “x”处应填的数字是325272102183.,183,解析答案,跟踪训练1,(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)， 第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如 果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为_.,解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46， 第n(n2，nN*)层的点数为6(n1). 设一个点阵有n(n2，nN*)层，,由题意得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层.,8,解析答案,例5 已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)， 则amn .类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0， nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn _.,解析 设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.,题型二 类比推理,解析答案,思维升华,(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.,思维升华,解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高， P为三棱锥ABCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd ，,跟踪训练2,解析答案,(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.,(大前提是等比数列的定义，这里省略了),题型三 演绎推理,解析答案,(2)Sn14an.,又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提) 对于任意正整数n，都有Sn14an. (结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件),解析答案,思维升华,演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,思维升华,某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为_. 大前提错误； 小前提错误； 推理形式错误； 非以上错误.,解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.,跟踪训练3,解析答案,返回,高频小考点,典例1 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：,将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测： b2 014是数列an的第_项； b2k1_.(用k表示),高频小考点,10.高考中的合情推理问题,解析答案,解析答案,答案 5 035,(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(1)Tf(x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是_. AN*，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0x10； Ax|0x1，BR； AZ，BQ.,解析答案,温馨提醒,返回,解析 对于，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，故是；,不符合，不是保序同构.,答案 ,温馨提醒,(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳. (2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.,返回,温馨提醒,思想方法 感悟提高,1.合情推理的过程概括为,2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.,方法与技巧,1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.下列推理是归纳推理的是_. A，B为定点，动点P满足PAPB2aAB，则P点的轨迹为椭圆； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；,科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.,解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理.,解析答案,2.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_. 结论正确； 大前提不正确； 小前提不正确； 全不正确.,解析 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)_.,解析 1条直线将平面分成11个区域； 2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域； 3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域； ；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.给出下列三个类比结论： (ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn； loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2. 其中正确结论的个数是_. 解析 (ab)nanbn(n1，ab0)，故错误. sin()sin sin 不恒成立.,由向量的运算公式知正确.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若cn是等比数列，,即dn为等比数列.,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.观察下列不等式：, 照此规律，第五个不等式为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,因为P0(x0，y0)在这两条切线上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由等比数列的性质可知 b1b30b2b29b11b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,归纳猜想得：当x1x21时，,解析答案,证明：设x1x21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 如图所示，由射影定理得 AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又BC2AB2AC2，,猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，,解析答案,证明：如图，连结BE并延长交CD于F，连结AF. ABAC，ABAD，ACADD， AC平面ACD，AD平面ACD，AB平面ACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,AF平面ACD，ABAF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是_.(填序号),解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.,解析答案,13.如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比 如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故体积之比为,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知等差数列an的公差d2，首项a15. (1)求数列an的前n项和Sn；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由于a15，d2，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律,解 因为Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n， 所以T15，T2422218，T3432339， T4442468，T54525105. S15，S22(24)12，S33(34)21， S44(44)32，S55(54)45. 由此可知S1T1，当n2且nN*时，SnTn. 归纳猜想：当n1时，SnTn； 当n2，nN*时，SnTn.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1yf(1x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值,解 由(1)知1f(x)f(1x)， 即f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1， f(0)f(1)1. 则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.,解析答案,返回,
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