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,第十三章 推理与证明、算法、复数,13.5 复 数,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.复数的有关概念 (1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做 ，b叫做 .(i为虚数单位) (2)分类：,实部,虚部,b0,b0,a0且b0,知识梳理,1,答案,(3)复数相等：abicdi (a，b，c，dR). (4)共轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR).,2.复数的几何意义,ac且bd,ac，bd,|abi|,|z|,Z(a，b),答案,3.复数的运算 (1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(bc+ad)i,答案,(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 ， .,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解.( ) (2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ),思考辨析,答案,1.(2015安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)_.,解析 (1i)(12i)12ii2i21i23i.,3i,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.(2015课标全国改编)已知复数z满足(z1)i1i，则z_.,解析 由(z1)i1i，两边同乘以i， 则有z11i，所以z2i.,2i,解析答案,1,2,3,4,5,3.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_.,解析 A(6,5)，B(2,3)， 线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z24i.,24i,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知a，bR，i是虚数单位.若ai2bi，则(abi)2_.,解析 a，bR，ai2bi， a2，b1， (abi)2(2i)234i.,34i,解析答案,1,2,3,4,5,z2i.,2i,1,2,3,4,5,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,3,题型一 复数的概念,解析答案,1,解析答案,(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的_条件.,所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件.,充分不必要,解析答案,|a3|3，a0或a6.,引申探究,解析答案,4,解析答案,思维升华,解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.,思维升华,(1)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为_.,1,解析答案,跟踪训练1,(2)(2014浙江改编)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的_条件.,解析 当ab1时，(abi)2(1i)22i；,解得ab1或ab1， 所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件.,充分不必要,解析答案,命题点1 复数的乘法运算,例2 (1)(2015湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为_.,解析 方法一 i607i41513i3i，其共轭复数为i.,i,题型二 复数的运算,解析答案,(2)(2015北京改编)复数i(2i)_.,解析 i(2i)2ii212i.,12i,解析答案,命题点2 复数的除法运算,1i,解析答案,1i,解析答案,命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题,例4 (1)(2015天津)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_.,解析 (12i)(ai)a2(12a)i， 由已知，得a20,12a0， a2.,2,解析答案,(2)(2014江苏)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_.,解析 因为z(52i)22520i(2i)2 2520i42120i， 所以z的实部为21.,21,解析答案,命题点4 复数的综合运算,2,解析答案,(2)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为_.,解析 设zabi， 故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，,解析答案,思维升华,复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答. (4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答. (5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.,思维升华,z1i.,1i,解析答案,跟踪训练2,1,解析答案,ii42521i.,1i,解析答案,例6 (1)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的_. 内心 垂心 重心 外心,解析 由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心.,题型三 复数的几何意义,解析答案,(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0， 32i，24i，试求：,解析答案,B点对应的复数.,即B点对应的复数为16i.,解析答案,思维升华,因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.,思维升华,(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，图中表示z 的共轭复数的点是_.,解析 表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，,B,解析答案,跟踪训练3,解 设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.,由题意得x4.z42i. (zai)2(124aa2)8(a2)i，,实数a的取值范围是(2,6).,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 (14分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.,思维点拨 (1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来； (2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.,思想与方法系列,24. 解决复数问题的实数化思想,解析答案,思维点拨,温馨提醒,返回,规范解答 解 设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，3分 代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i， 5分,故所求复数为,温馨提醒,(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.,返回,温馨提醒,思想方法 感悟提高,1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程. 2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.,方法与技巧,1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.(2015福建改编)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于_.,解析 (1i)(23i)32iabi， a3，b2.,3，2,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,3.(2015课标全国改编)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a_.,解析 因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i， 得4a0且a244，解得a0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,解析 由题图知复数z3i，,H,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,2z2i2，z1i.,1i,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,6.(2015江苏)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,解析 f(1i)(1i)(1i)2， ff(1i)f(2)123.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,8.复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.,解析 z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a22a150，解得a5或a3. 又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.,11.复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)， 并且z1z2，则的取值范围是_.,化简得44cos23sin ，,由此可得4cos23sin 44(1sin2)3sin 4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0， 集合中共有3个元素.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,(x2)2y23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,14.已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_.,解析 MN3，3M且1M， m1,3(m25m6)i3或m3， m25m60且m1或m3， 解得m6或m3.,3或6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,b2，c3.,2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,16.若虚数z同时满足下列两个条件：,这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析答案,返回,解 这样的虚数存在，z12i或z2i. 设zabi(a，bR且b0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又b0，a2b25. 又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数， a3b0. ,解析答案,故存在虚数z，z12i或z2i.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,返回,
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