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第十一章 概率,11.1 随机事件的概率,考纲要求:1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.,1.事件的分类,2.频率与概率 (1)频率:在n次重复次试验中,某一事件A出现的次数与n的比值称为这n次试验中事件A的频率. (2)概率:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).概率的取值范围:0P(A)1. (3)频率与概率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,但当试验次数比较大时,频率会在某个常数附近摆动,这个常数就是概率,所以概率是一个确定的值.人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.,3.互斥事件与对立事件 (1)互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件. (2)和事件:给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B至少有一个发生. (3)和事件的概率:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=P(A)+P(B);如果随机事件A1,A2,An中任意两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). (4)对立事件:在每一次试验中,相互对立的事件A和事件 不会同时发生,并且一定有一个发生.所以有 =1-P(A).,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. ( ) (2)随机事件和随机试验是一回事. ( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. ( ),1,2,3,4,5,2.把红、蓝、黑、白4个球随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人一个球,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.以上都不对,答案,解析,1,2,3,4,5,3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶,答案,解析,1,2,3,4,5,4.(2015江西上饶模拟)某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中,随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(AB)= (结果用最简分数表示).,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近. 2.随机事件和随机试验是两个不同的概念,没有必然的联系.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果试验前无法确定,叫做随机试验. 3.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.,考点1随机事件的关系 例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有 .(填序号) 至少有一个红球,都是红球 至少有一个红球,都是白球 至少有一个红球,至少有一个白球 恰有一个红球,恰有两个红球,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何判断随机事件之间的关系? 解题心得:1.判断随机事件之间的关系有两种方法: (1)紧扣事件的分类,结合互斥事件,对立事件的定义进行分析判断; (2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系. 2.各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)给出下列命题: A,B是两个事件,则P(AB)=P(A)+P(B); 若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1; 若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B是对立事件. 其中所有不正确命题的序号为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2随机事件的频率与概率 例2某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: (1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率? 解题心得:1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率. 2.求解随机事件的概率的常用方法有两种: (1)可用频率来估计概率; (2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法; 树状图法.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (2015北京,文17)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3互斥事件、对立事件的概率,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015江苏南通模拟)已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概率为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求互斥事件的概率一般方法有哪些? 解题心得:求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就较简便.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 黄种人群中各种常见血型的人所占比例大约如下: 已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问 (1)任找一人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一人,其血不能输给小明的概率是多少?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.善于将事件A转化为互斥事件的和或对立事件求解. 2.注意概率加法公式的使用条件,概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽视只有当AB=,即A,B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B),此时P(AB)=0.,一、易错警示忽视概率加法公式的应用条件致误 典例1抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率都是 ,记事件A为“出现奇数点”,事件B为“向上的点数不超过3”,求P(AB). 解:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.,二、思想方法“正难则反思想”在概率中的应用 “正难则反思想”是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是正难则反思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)或P(B)时,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一个,再求另一个.,典例2某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率),解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 解得x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为,
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