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,第6节 空间向量及其运算,基 础 梳 理,1空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做_，x轴、y轴、z轴叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做_,坐标原点,坐标轴,坐标平面,(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 (3)空间一点M的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_,z轴,横坐标,纵坐标,竖坐标,2空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |AB|_. 点P(x，y，z)与坐标原点O之间的距离为 |OP|_.,3空间向量的有关概念,大小和方向,长度或模,1,0,相同,相等,相反,相等,互相,平行或重合,平面,4.空间向量的有关定理及推论,不共线,不共面,基向量,基底,AOB,ab,0，,两向量的数量积：已知两个非零向量a、b，则_叫做向量a、b的数量积，记作ab， 即_,|a|b|cosa，b,ab|a|b|cosa，b,(2)两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a和b. ae|a|cosa，e(其中e为单位向量) ab_. cosa，b_. a2aa_，|a|_. |ab|_|a|b|.,ab0,|a|2,(3)空间向量数量积的运算律 数乘结合律：(a)b_ 交换律：ab _. 分配律：a(bc) _.,(ab),ba,abac,(x，y，z),(5)空间向量运算的坐标表示 设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么 加、减运算：ab_ 数量积：ab_. 夹角公式：cosa，b_.,(x1x2，y1y2，z1z2),x1x2y1y2z1z2,数乘运算：a_ (R) 平行的充要条件：abx1x2，y1y2，z1z2(R) 垂直的充要条件：ab_.,(x1，y1，z1),x1x2y1y2z1z20,解析：关于z轴对称，横、纵坐标变为原来的相反数，竖坐标不变故选C. 答案：C,3. (2014福建晋江期末)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在直线平行；若三个向量a，b，c两两共面，则a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确的命题个数是( ) A0 B1 C2 D3,解析：命题中的两直线可能重合，命题不正确；命题中只要三个向量的起点相同，就有两两共面，但这时三个向量不一定共面，命题不正确；命题中必须向量a，b，c不共面，命题不正确故选A. 答案：A,4已知向量a(4，1,3)，b(2,4，3)，则(ab)(ab)_. 解析：因为ab(6,3,0)， ab(2，5,6)， 所以(ab)(ab)(6,3,0)(2，5,6) 12150 3. 答案：3,考 点 突 破,例1 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心,共线向量定理、共面向量定理的应用,(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断,(1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P、A、B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：,思维导引 (1)利用向量的夹角公式和数量积运算法则即得；(2)两向量垂直的充要条件是其数量积等于零，得出关于k的方程解之,空间向量的数量积与坐标运算,(1)求空间向量数量积的方法 定义法设向量a、b的夹角为，则ab|a|b|cos ； 坐标法设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.,两向量平行与两向量同向混淆致误 典例 已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a、b同向，则x、y的值分别为_ 分析：根据两向量平行的充要条件得出x，y之值后，得出两个向量的坐标，验证其方向是否相同,易错提醒：(1)如果认为“同向”就是“平行”，那么将得出两组解导致错误； (2)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件,
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