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,第4节 直线、平面平行的判定与性质,基 础 梳 理,1直线与平面平行 (1)判定定理,平行,l,(2)性质定理,平行,ab,质疑探究1：若直线a与平面内无数条直线平行是否有a？ 提示：不一定有可能a.,2平面与平面平行 (1)判定定理,相交直线,abP,(2)性质定理,平行,ab,质疑探究2：如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，那么两个平面一定平行吗？ 提示：不一定如果这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，此时这无数条直线都平行于交线 质疑探究3：由公理4知直线与直线的平行有传递性，那么平面与平面的平行具有传递性吗？ 提示：有即三个不重合的平面，若，则.,1若直线l上有不同的两点到平面的距离相等，则直线l与平面的位置关系是( ) Al Bl与相交 Cl D以上都有可能 解析：当l或l时，显然满足题意； 当l与相交时，在平面的两侧，直线l上存在不同的两点到平面的距离相等故选D. 答案：D,2(2014泉州质检)对于直线m，n和平面，若n，则“mn”是“m”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当mn时，m或m；当m时，m与n可能平行也可能为异面直线，故选D. 答案：D,3若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中真命题是( ) A若m、n都平行于平面，则m、n一定不是相交直线 B若m、n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线 C已知，互相平行，m、n互相平行，若m，则n D若m、n在平面内的射影互相平行，则m、n互相平行,解析：当m，n时，m与n可能相交，即A为假命题；显然B为真命题；对于C，n可以平行于，也可以在内，故C是假命题；对于D，m、n也可以异面，即D为假命题故选B. 答案：B,4设、是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列条件： 、都平行于直线a、b； a、b是内两条直线，且a，b； 若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b. 其中可判定的条件的序号为_,解析：中，只有当a与b相交或异面时， 才能推得； 中，只有a、b相交时才能判定； 中，由于a、b相交，设a、b确定平面， 则，所以. 答案：,考 点 突 破,例1 已知m、n是两条不同直线，、是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A若m，n，则mn B若mn，n，则m C若m，m，则 D若，则 思维导引 根据线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项进行分析判断，可以借助长方体(或正方体)模型,判断与平行相关的命题,解析 m、n平行于，m、n可能相交也可能异面，如图中正方体的棱A1B1、B1C1都与底面ABCD平行，但这两条棱相交，故选项A不正确；在正方体中，ABA1B1，A1B1平面A1B1BA，而AB不平行于平面A1B1BA，故选项B错；正方体的棱B1C1既平行于平面ADD1A1，又平行于平面ABCD，但这两个平面相交，故选项C不正确；由平面与平面平行的传递性，得选项D正确故选D.,(1)解决与平行相关命题的判定问题，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体及其他几何体内平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化 (2)使用正(长)方体及其他几何体模型只能排除错误选项，要得到正确答案还需要用公理、定理进行论证,即时突破1 已知m、n、l为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A，m，nmn Bl，l Cm，mnn D，l且ll,解析：对于选项A，m、n可能平行或异面；对于选项B，还可能出现l这种情形；对于选项C，还可能出现n这种情形 由，l可得l或l，又知l， 所以只有l.故选项D正确 故选D.,例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：APGH.,直线与平面平行的判定与性质,思维导引 由平行四边形构造三角形中位线，得两直线平行，再由线面平行的判定定理，得直线与平面平行，最后由线面平行的性质定理得到线线平行,证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点， 又M是PC的中点， APOM， 又MO平面BMD，PA平面BMD， PA平面BMD. 平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG， PAGH.,(1)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面 (2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行,即时突破2 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PEEABFFD，求证：EF平面PBC.,连接EN，则ENPB， 又EN平面PBC，PB平面PBC， EN平面PBC. 又ENNFN， 平面EFN平面PBC， 又EF平面ENF， EF平面PBC.,例3 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 思维导引 (1)证明GHBC，可得四点共面(2)证明A1E，A1F分别平行于平面BCHG，由面面平行的判定定理可证得结论,平面与平面平行的判定与性质,证明 (1)G、H分别是A1B1，A1C1的中点， GHB1C1. 又在三棱柱中，B1C1BC， GHBC， B，C，H，G四点共面,(2)G、E分别是A1B1，AB的中点， A1G綊BE， 四边形A1GBE为平行四边形，A1EBG. 又A1E平面BCHG，BG平面BCHG， A1E平面BCHG，同理A1F平面BCHG， 又A1EA1FA1， 平面EFA1平面BCHG.,(1)判定面面平行的方法 定义法：即证两个平面没有公共点； 面面平行的判定定理； 垂直于同一条直线的两平面平行； 平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行,(2)面面平行的性质 若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面 若一平面与两平行平面相交，则交线平行 (3)平行间的转化关系,证明：(1)连接BD，交AC于O， 因为四边形ABCD为菱形， BAD60， 所以BDa. 因为BB1、CC1都垂直于平面ABCD， BB1CC1. 又平面B1C1D1平面ABCD，且都被平面BCC1B1所截， BCB1C1. 所以四边形BCC1B1为平行四边形， 则B1C1BCa，,典例 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由,分析：取AB的中点E，连接DE，证明DE平面AB1C1.,EF綊DC1，四边形EFC1D为平行四边形， EDFC1. 又ED平面AB1C1，FC1平面AB1C1， ED平面AB1C1.,法二 取BB1的中点H，连接EH，DH， E，H分别是AB，BB1的中点， 则EHAB1. 又EH平面AB1C1，AB1平面AB1C1， EH平面AB1C1， 又HDB1C1， 同理可得HD平面AB1C1， 又EHHDH， 平面EHD平面AB1C1， ED平面EHD，ED平面AB1C1.,平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行,
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