资源描述
,14.3 坐标系与参数方程,课时1 坐标系,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：,的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.,知识梳理,1,答案,2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定 一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为 正方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的 ，称为点M的 .由极径的意义可知0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，) (0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.,极径,极角,答案,(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.,或,.,答案,3.常见曲线的极坐标方程,r(02),2rcos ,2rsin (0),答案,cos a,sin a(0),答案,过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2. 即为sin 2.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,解析答案,1,2,3,3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.当AOB是等边三角形时，求a的值.,解析答案,1,2,3,返回,解 由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24. 由sin a可得ya. 设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A， B与O构成等边三角形，如图所示. 由对称性知OOB30，ODa.,1,2,3,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0x1)的极坐标方程.,y1x化成极坐标方程为cos sin 1，,0x1，线段在第一象限内(含端点)，,题型一 极坐标与直角坐标的互化,解析答案,(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标. 解 因为xcos ，ysin ， 由sin2cos ，得2sin2cos ， 所以曲线C1的直角坐标方程为y2x. 由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.,解析答案,思维升华,(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.,思维升华,(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.,解 将x2y22，xcos 代入x2y22x0， 得22cos 0，整理得2cos .,跟踪训练1,解析答案,(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程. 解 由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0， 即(x1)2y21， 其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，,解析答案,例2 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出曲线C的方程；,解 设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，,题型二 求曲线的极坐标方程,解析答案,(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，,解析答案,思维升华,求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.,思维升华,令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).,于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .,跟踪训练2,解析答案,例3 (2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程；,解 因为xcos ，ysin ， 所以C1的极坐标方程为cos 2， C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.,题型三 极坐标方程的应用,解析答案,由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，,解析答案,思维升华,(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.,思维升华,圆4可化为x2y216，,跟踪训练3,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,2.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标. 解 曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1， (sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值. 解 圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，,直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系， 则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1,0).,因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)， 所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解 对曲线C1的极坐标方程进行转化： 12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236. 对曲线C2的极坐标方程进行转化：,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 设P点的极坐标为(，). POP为正三角形，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系. 解 直线cos sin 10可化成xy10， 圆2sin 可化为x2y22y， 即x2(y1)21.,故直线与圆相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.,kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,当0时，2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程. 解 M点的直角坐标为(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,
展开阅读全文