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,第十四章 系列4选讲,14.2 矩阵与变换,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.乘法规则,a11b11a12b21,知识梳理,1,答案,(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：,(4)两个二阶矩阵的乘法满足 律，但不满足 律和 律. 即(AB)CA(BC)， ABBA， 由ABAC不一定能推出BC. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.,结合,交换,消去,答案,2.常见的平面变换,3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是 ，B称为A的 ； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.,可逆的,逆矩阵,答案,4.特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个 ，而称为A的属于特征值的一个 . 5.特征多项式,特征值,特征,向量,2(ad)adbc,答案,考点自测,2,解析答案,1,2,3,解析答案,1,2,3,10，23. M的特征值为0和3.,1,2,3,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,解 设点(x，y)是直线xy1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x，y)，,因为点(x，y)在直线x2y1上，,题型一 矩阵与变换,解析答案,思维升华,已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.,思维升华,二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点 (1，1)与(0，2). (1)求矩阵M；,跟踪训练1,解析答案,(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程.,且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4， 整理得xy20， 所以直线l的方程为xy20.,解析答案,(1)求A的逆矩阵A1；,解 因为|A|23142，,题型二 求逆矩阵,解析答案,(2)求矩阵C，使得ACB.,解 由ACB得(A1A)CA1B，,解析答案,思维升华,求逆矩阵的方法： (1)待定系数法,(2)公式法,思维升华,跟踪训练2,解析答案,(1)求矩阵A；,解 因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵，且|A1|221130，,题型三 特征值与特征向量,解析答案,(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解 矩阵A1的特征多项式为,令f()0，得矩阵A1的特征值为11或23，,解析答案,思维升华,(3)赋值法求特征向量，一般取x1或者y1，写出相应的向量.,思维升华,(1)求实数a的值；,所以a13，所以a4.,跟踪训练3,解析答案,(2)求矩阵A的特征值及特征向量.,解得A的特征值为1或3.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,2.证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即ABEBA.,4.若某一向量在矩阵变换作用下的像与原像共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)(2)302328(7)(4)， A的特征值为17，24. 故A的特征值为7和4.,解析答案,AXB，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P(x，y)为曲线x22y21上与P对应的点，,因为P是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x2y)22y21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 由已知，得A2，,从而矩阵A的特征多项式f()(2)(1)， 所以矩阵A的另一个特征值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，证明A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B1，B2都是A的逆矩阵， 则B1AAB1E2，B2AAB2E2， 从而B1E2B1(B2A)B1B2(AB1)B2E2B2. 即B1B2.故A的逆矩阵是唯一的.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 设点(x0，y0)为曲线|x|y|1上的任一点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(1)求满足条件AMB的矩阵M；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2y21变换为曲线C，求曲线C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,解 设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,返回,
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