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,14.1 几何证明选讲,课时2 圆的进一步认识,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.圆周角与圆心角定理 (1)圆心角定理：圆心角的度数等于 . (2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 . 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角 .同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于 .反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).,其所对弧的度数,一半,相等,90,知识梳理,1,答案,2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的 . (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 . 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 .,切线,半径,切点,圆心,相等,度数的一半,答案,5.与圆有关的比例线段,PCPD,BDP,PCPD,PDB,答案,PBPC,PCA,PB,OPB,6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角 . (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.,互补,答案,1.如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点.求证：APBCACCP.,证明 因为PC为圆O的切线，所以PCAPBC， 又CPABPC，故CAPBCP，,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,2.(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆 O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3， CEED21，求BE的长. 解 首先由切割线定理得PA2PCPD，,又CEED21， 因此CE6，ED3， 再由相交弦定理AEEBCEED，,解析答案,1,2,3,4,3.如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的长.,解 AA，AEFACB，,解析答案,1,2,3,4,4.如图，在ABC中，ACB90，A60，AB20， 过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆 交于点E，求DE的长. 解 在RtACB中，ACB90，A60， ABC30.AB20，,CD为切线，BCDA60.,DE5.,1,2,3,4,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 (2015课标全国)如图，AB是O的直径，AC是O的 切线，BC交O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；,证明 连结AE，由已知得，AEBC，ACAB. 在Rt AEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE. 连结OE，则OBEOEB. 又ACBABC90， 所以DECOEB90， 故OED90，即DE是O的切线.,题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题,解析答案,解 设CE1，AEx，,由射影定理可得，AE2CEBE，,解析答案,思维升华,(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.,思维升华,(1)如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A，B两点，C是O上的一点，若P70，求ACB的大小.,解 如图所示，连结OA，OB， 则OAPA，OBPB. 故AOB110，,跟踪训练1,解析答案,(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长.,解 如图，连结OA，由圆周角定理知AOC60，,又OAPA，在RtPOA中，,解析答案,例2 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是 O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内 部，点M是BC的中点. (1)证明：A，P，O，M四点共圆；,证明 如图，连结OP，OM，因为AP与O相切于点P， 所以OPAP， 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC， 于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆.,题型二 四点共圆问题,解析答案,(2)求OAMAPM的大小. 解 由(1)得，A，P，O，M四点共圆， 所以OAMOPM， 由(1)得OPAP，因为圆心O在PAC的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90.,解析答案,思维升华,(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,思维升华,如图所示，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长 线与DC的延长线交于点E，且CBCE. (1)证明：DE；,证明 由题设知，A，B，C，D四点共圆， 所以DCBE， 由已知得CBEE， 故DE.,跟踪训练2,解析答案,(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形.,证明 如图，设BC的中点为N，连结MN， 则由MBMC知MNBC，故点O在直线MN上. 又AD不是O的直径，M为AD的中点， 故OMAD，即MNAD. 所以ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE， 由(1)知，DE， 所以ADE为等边三角形.,解析答案,例3 (2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO 交O 于D，E两点，BCDE，垂足为C. (1)证明：CBDDBA；,证明 因为DE为O的直径， 则BEDEDB90， 又BCDE，所以CBDEDB90， 从而CBDBED， 又AB切O于点B，得DBABED， 所以CBDDBA.,题型三 与圆有关的比例线段,解析答案,解 由(1)知BD平分CBA，,故DEAEAD3，即O的直径为3.,解析答案,思维升华,(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.,思维升华,(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延 长线上一点，且DFCF ，AFFBBE421， 若CE与圆相切，求线段CE的长.,解 由相交弦定理得AFFBDFCF， 由于AF2FB，可解得FB1，,跟踪训练3,解析答案,(2)(2014湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点.若QC1，CD3，求PB的长.,解 由切割线定理得QA2QCQD4，解得QA2. 由切线长定理得PBPA2QA4.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定切线通常有三种方法： (1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)与圆心距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. 2.四点共圆问题主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明，利用圆内接四边形的性质或判定对问题求解. 3.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路： (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论； (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2015江苏)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.,证明 因为ABAC，所以ABDC. 又因为CE，所以ABDE， 又BAE为公共角，可知ABDAEB.,解析答案,2.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点. 证明：OCBD. 证明 因为B，C是圆O上的两点， 所以OBOC. 故OCBB. 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 故B，D为同弧所对的两个圆周角， 所以BD. 因此OCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.(2015湖南)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的 中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F， 证明：MENNOM180.,证明 如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点， 所以OMAB，ONCD， 即OME90，ENO90， 因此OMEENO180， 又四边形的内角和等于360， 故MENNOM180.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD CE于点D，若圆O的面积为4，ABC30，求AD的长.,解 由题意可知圆O的半径为2，,由弦切角定理可知ACDABC30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,5.如图，已知CB是O的一条弦，A是O上异于B，C 的任意一点，过点A作O的切线交直线CB于点P，D为 O上一点，且ABDABP.求证：AB2BPBD. 证明 AP与O相切于点A，AB为O的弦， ADBPAB， 又在DBA和ABP中，DBAABP，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,6.如图，过O外一点P作O的切线PA，切点为A，连结OP 与O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA12 cm， PC6 cm，求CD的长. 解 设O的半径为r， 由切割线定理得AP2PC(PC2r)， 即1226(62r)，解得r9. 连结OA，则有OAAP. 又CDAP，所以OACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，分别延 长AB，CD相交于点M，点N在O上，ANAC. 证明：MDN2ACO. 证明 如图，连结ON，因为ANAC， ONOC，OA是公共边， 所以ANOACO，故OACOAN. 又OACACO， 所以NACOACOANACOOAC2ACO. 因为A，C，D，N四点共圆，所以MDNNAC， 所以MDN2ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的 直径，PC与圆O交于点B，PB1，求圆O的半径R. 解 由切割线定理可得PA2PBPC，,所以BCPCPB3， 因为AC是圆O的直径，所以ABC90， 所以AB2BCBP3， 所以AC2BC2AB29312，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交 于点F.若ABAC，AE6，BD5，求线段CF的长.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 设EBx，则EDx5， 由切割线定理知x(x5)62，x4. ABAC，ABCACB， 又ACBADB，EABADB， EABABC，AEBC，又ACED， 四边形EBCA为平行四边形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,ACEB4，BCAE6， 由AFCDFB.,10.如图，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过 点D作DEAE于点E，延长ED与圆O交于点C. (1)证明：DA平分BDE；,证明 AE是O的切线， DAEABD. BD是O的直径，BAD90， ABDADB90. 又ADEDAE90， ADBADE，DA平分BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若AB4，AE2，求CD的长.,解 由(1)可得ADEBDA，,ABD30，DAE30.,由切割线定理可得AE2DECE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,
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