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,14.1 几何证明选讲,课时1 相似三角形的进一步认识,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 . 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必 . 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必 . 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 . 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 .,相等,平分另一腰,平分第三边,成比例,成比例,知识梳理,1,答案,3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理：,(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 .,两角,两边,夹角,三边,相似比,相似比的平方,答案,4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该 ，斜边上的高的平方等于 .,直角边在斜边上的射影与,斜边的乘积,两条直角边在斜边上射影,的乘积,答案,1.如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.,证明 由ABCBAD得ACBBDA， 故A，B，C，D四点共圆，从而CABCDB. 由ABCBAD得CABDBA， 因此DBACDB，所以ABCD.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,2.如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，求EC的长度.,依题意得，ADBACE，,解析答案,1,2,3,3.如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求 的值.,解 如图，过点D作DGAF，交BC于点G，易得FGGC， 又在BDG中，BEDE， 即EF为BDG的中位线，,1,2,3,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2KEKF.,题型一 平行截割定理的应用,解析答案,思维升华,证明 延长CK，BA，设它们交于点H， 因为KOHB，,因为KFHB，,即KO2KEKF.,思维升华,当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等.,思维升华,(1)如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD12，BC20，求EF的长度. 解 ADBC，,EFOEOF15.,跟踪训练1,解析答案,(2)如图所示，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，求AB的长. 解 DEBC，,解析答案,例2 如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F. 求证：FD2FBFC.,证明 E是RtACD斜边上的中点， EDEA，A1，12，2A， FDCCDB2902，FBDACBA90A， FBDFDC， F是公共角，FBDFDC，,题型二 相似三角形的判定与性质,解析答案,思维升华,(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理.在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等.,思维升华,(1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知AC，PD2DA2，求PE的长. 解 BCPE， PEDCA， PDEPEA，,又PD2DA2，PAPDDA3.,跟踪训练2,解析答案,(2)如图，四边形ABCD中，DFAB，垂足为F，DF3，AF2FB2，延长FB到E，使BEFB，连结BD，EC.若BDEC，求四边形ABCD的面积.,解 如图，过点E作ENDB交DB的延长线于点N， 在RtDFB中，DF3，FB1，,所以EN为BCD底边BD上的高，,解析答案,例3 如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC的长.,题型三 射影定理的应用,解析答案,思维升华,解 在ABC中，设AC为x， ABAC，AFBC. 又FC1，根据射影定理，得AC2FCBC， 即BCx2. 再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，,在BDC中，过D作DEBC于E.,解析答案,在RtDEC中，DE2EC2DC2，,思维升华,(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.,思维升华,(1)如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC.,解 AC2ADAB，BC2BDAB， AC2BC2ADBD94， ACBC32.,跟踪训练3,解析答案,(2)已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，求AD的长.,解 如图，连结AC，CB，AB是O的直径， ACB90. 设ADx，CDAB于D， 由射影定理得CD2ADDB， 即62x(13x)， x213x360，解得x14，x29. ADBD，AD9.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.,2.直角三角形中常用的四个结论 在RtABC中，ACB90，CDAB(如图)：,(1)ABCD，BACD. (2)ABCACDCBD. (3)a2pc，b2qc，h2pq，abch(其中cpq). (4)在a、b、p、q、h五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.如图，OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点， 且PO3，PAPB4，求腰长OA的长度. 解 如图，作ODAP，垂足为D， 则PO2PD2OB2BD2， 所以PO2OB2PD2BD2， 因为ADBD， 所以PD2BD2PD2AD2(PDAD)(PDAD)PAPB4， 所以PO2OB24，所以OB2945，,解析答案,2.如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6， AC4，AD12，求AE的长.,解 由于ACDAEB90，BD， ABEADC，,又AC4，AD12，AB6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.如图，RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，若ABAC21，求ADBC.,BAC90，ADBC，AC2CDBC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，求ACD与CBD的相似比. 解 如图所示，在RtACB中，CDAB， 由射影定理得：CD2ADBD， 又ADBD23，令AD2x.则BD3x(x0)，,又ADCBDC90，ACDCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,证明 BE是ABC的角平分线，,在RtABC中，由射影定理知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如图所示，在RtABC中，ACB90，M是BC的中点， CNAM，垂足是N，求证：ABBMAMBN. 证明 CM2MNAM， 又M是BC的中点，,又BMNAMB，AMBBMN，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一 点，BE与AD交于点F，DE CD. (1)求证：ABFCEB；,证明 四边形ABCD是平行四边形， AC，ABCD. ABFCEB. ABFCEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积. 解 四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD. DEFCEB，DEFABF.,SDEF2，SCEB18，SABF8. S四边形BCDFSCEBSDEF16. S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂 足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC. (1)求证：ABFEAD.,证明 ABCD， BAFAED. 又BFEC，BFEBFACADE， BFAADE. ABFEAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若BAE30，AD3，求BF的长. 解 BAE30，AEB60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E、F分 别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：EDMFBM； 证明 E是AB的中点，AB2EB. AB2CD，CDEB. 又ABCD，四边形CBED是平行四边形. CBDE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)若DB9，求BM.,F是BC的中点， DE2BF.DM2BM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EFAD，假设EF做上下平行移动.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,证明 过点A作AHCD分别交EF，BC于点G，H.,又EGGFEGADEF，,即3EFBC2AD.,解析答案,解 EF与BC，AD的关系式为5EF2BC3AD，理由和(1)类似.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,即(mn)EFmBCnAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,
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