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,第八章 立体几何,1能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直 2理解直线的方向向量与平面的法向量 3能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用,请注意 本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题,1直线的方向向量 就是指和这条直线所对应向量 (或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有 个,平行,无数多,2平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 ，它们是_向量 (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 确定的,无数多个,共线,唯一,3直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 直线l1的方向向量u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2(a2，b2，c2) 如果l1l2，那么u1u2 如果l1l2，那么u1u2 . 直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2) 若l，则unun0 ； 若l，则unukn ；,(a1，b1，c1)(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,a1a2b1b2c1c20,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),平面1的法向量为u1(a1，b1，c1)，平面2 的法向量为u2(a2，b2，c2) 若12，则u1u2u1ku2_ 若12，则u1u2u1u20 .,(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2),a1a2b1b2c1c20,1已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是( ) Aac，bc Bab，ac Cac，ab D以上都不对 答案 C,2若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( ) A平行 B相交 C垂直 D不确定 答案 A 解析 v22v1，l1l2.,3若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) An1(1,2,1)，n2(3,1,1) Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1) Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1) Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2) 答案 A,4已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P在平面内的是( ) AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4) 答案 A,答案 C,6若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则( ) A B C，相交但不垂直 D以上均不正确 答案 C,例1 (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQRS.,题型一 证明平行关系,(2)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，且PDDC，E是PC的中点，求证：PA平面EBD.,(3)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN平面EFDB.,【答案】 (1)略 (2)略 (3)略,探究1 (1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可 (2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量与平面法向量垂直 (3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证,(1)如图所示，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQRS.,思考题1,(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.,【答案】 (1)略 (2)略,例2 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC.求证：PMQN.,题型二 证明垂直关系,(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：BD1平面ACB1.,(3)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面DEA平面A1FD1.,【答案】 (1)略 (2)略 (3)略,探究2 (1)要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础 (2)证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法，也可证明此直线与平面的法向量共线 (3)用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直,如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD. (1)求证：PABD； (2)求证：平面PAD平面PAB.,思考题2,【思路】 空间中各元素的位置关系和数量关系其核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础考虑到面PBC面ABCD及PCPB，故可取BC的中点O为原点，OP为z轴，OB为x轴,【答案】 (1)略 (2)略,题型三 探究性问题,探究3 (1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行可用传统法也可用向量法用向量法更为普遍 (2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明 (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明,(2015衡水调研卷)如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A2. (1)证明：ACA1B；,思考题3,【答案】 (1)略 (2)点P不存在,用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；根据运算结果的几何意义来解释相关问题,
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