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,第八章 立 体 几 何,1以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 请注意 近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系,1直线和平面平行的判定定理 (1)定义：若直线与平面 ，则称直线平行平面； (2)判定定理：_； (3)其他判定方法：，aa. 2直线和平面平行的性质定理 .,没有公共点,a，b，aba,a，a，lal,3两个平面平行的判定定理 (1)定义：两个平面 ，称这两个平面平行； (2)判定定理：若一个平面内的 ，与另一个平面平行，则这两个平面平行； (3)推论：若一个平面内的 分别平行于另一个平面内的 ，则这两个平面平行,没有公共点,两条相交直线,两条相交直线,两条相交直线,4两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 5与垂直相关的平行的判定定理 (1)a，b ； (2)a，a .,平行,ab,1(课本习题改编)给出下列四个命题： 若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行； 若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行； 若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；,若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 其中正确命题的个数是_个 答案 1 解析 命题错，需说明这条直线在平面外 命题错，需说明这条直线在平面外 命题正确，由线面平行的判定定理可知 命题错，需说明另一条直线在平面外,2(课本习题改编)已知不重合的直线a，b和平面， 若a，b，则ab； 若a，b，则ab； 若ab，b，则a； 若ab，a，则b或b， 上面命题中正确的是_(填序号) 答案 解析 若a，b，则a，b平行或异面；若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，a或a.,3若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面( ) A不存在 B零个或一个 C可以有两个 D有无数多个 答案 B,4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD. 答案 略 证明 方法一：如图(1)所示，连接B1D1. P，N分别是D1C1，B1C1的中点， PNB1D1. 又B1D1BD，PNBD. 又PN平面A1BD，BD平面A1BD， PN平面A1BD.同理：MN平面A1BD. 又PNMNN，平面PMN平面A1BD.,方法二：如图(2)所示，连接AC1，AC， ABCDA1B1C1D1为正方体， ACBD. 又CC1平面ABCD， AC为AC1在平面ABCD上的射影，AC1BD. 同理可证AC1A1B， AC1平面A1BD.同理可证AC1平面PMN. 平面PMN平面A1BD.,5.(2014新课标全国文)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC；,解析 (1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为BD的中点 又E为PD的中点， 所以EOPB. 因为EO平面AEC，PB平面AEC， 所以PB平面AEC.,例1 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且APDQ.求证：PQ平面BCE. 【思路】 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质,题型一 直线与平面平行的判定与性质,【证明】 方法一：如图所示 作PMAB交BE于M， 作QNAB交BC于N， 连接MN.,方法二：如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.,方法三：如图，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，连接QM. PM平面BCE.,【答案】 略,探究1 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a，aa),如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.,思考题1,【证明】 方法一：如右图，作MEBC，交BB1于E.作NFAD，交AB于F，连接EF，则EF平面AA1B1B.,又MEBCADNF， MEFN为平行四边形 NMEF.又MN面AA1B1B， MN平面AA1B1B.,方法二： 如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P平面AA1B1B.,方法三：如右图，作MPBB1，交BC于点P，连接NP.,【答案】 略,(1)求证：AP平面BEF； (2)求证：BE平面PAC.,【思路】 (1)根据已知可得四边形ABCE为菱形，在三角形PAC中利用三角形中位线定理可得PA平行于平面BEF内的一条直线，根据线面平行的判定定理可证；(2)由PACD，得出PABE.又ACBE，从而根据线面垂直的判定定理可证,因此四边形ABCE为菱形 所以O为AC的中点 又F为PC的中点， 因此在PAC中，可得APOF. 又OF平面BEF，AP平面BEF， 所以AP平面BEF.,(2)由题意知EDBC，EDBC. 所以四边形BCDE为平行四边形 因此BECD. 又AP平面PCD， 所以APCD.因此APBE. 因为四边形ABCE为菱形， 所以BEAC. 又APACA，AP平面PAC，AC平面PAC， 所以BE平面PAC. 【答案】 (1)略 (2)略,探究2 在多面体中判定平行关系是近年来高考中的常见题型,(2015江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点 (1)证明：BC1平面A1CD；,思考题2,【解析】 (1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点 又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF. DF平面A1CD，BC1平面A1CD， BC1平面A1CD.,【答案】 (1)略 (2)1,例3 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点 求证：平面AMN平面EFDB.,题型二 面面平行的判定与性质,【证明】 连接MF，M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形， MF綊A1D1.又A1D1綊AD， MF綊AD. 四边形AMFD是平行四边形 AMDF. DF平面EFDB，AM平面EFDB， AM平面EFDB，同理AN平面EFDB. 又AM平面ANM，AN平面ANM，AMANA， 平面AMN平面EFDB. 【答案】 略,探究3 证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?,思考题3,【解析】 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.证明如下： Q为CC1的中点，P为DD1的中点， QBPA. P，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO. 又D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO， D1B平面PAO，QB平面PAO. 又D1BQBB，D1B平面D1BQ，QB平面D1BQ， 平面D1BQ平面PAO. 【答案】 Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO,例4 如图所示，平面平面，点A，C，点B，D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD. 求证：EF.,【证明】 当AB，CD在同一平面内时， 由，平面ABDCAC， 平面ABDCBD，ACBD. AEEBCFFD， EFBD.又EF，BD，EF.,当AB与CD异面时， 设平面ACDDH，且DHAC， ，平面ACDHAC，ACDH. 四边形ACDH是平行四边形 在AH上取一点G，使AGGHCFFD， 又AEEBCFFD，GFHD，EGBH. 又EGGFG，平面EFG平面. EF平面EFG，EF. 综上，EF. 【答案】 略,探究4 在应用面面平行、线面平行的性质时，应准确构造平面，此处需要利用公理3的有关知识，本例中对AB和CD位置关系的讨论具有一定的代表性，可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结论本题设计精巧，转化目的明确，具有一定的代表性,如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点,思考题4,2直线与平面平行的重要判定方法： 定义法；判定定理；面与面的平行性质 3平面与平面平行的主要判定方法： 定义法；判定定理；推论；a，a.各种关系能相互转化，特别要关注转化所需条件是什么 4可以考虑向量的工具性作用，能用向量的尽可能应用向量解决，可使问题简化,1下列命题中正确的是_ 若直线a不在内，则a； 若直线l上有无数个点不在平面内，则l； 若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行； 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；,若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交 答案 ,解析 aA时，a不在内， 错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab，b时，a或a，故错；l，则l与无公共点，l与内任何一条直线都无公共点，正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，正确,2给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题： 若l与m为异面直线，l，m，则； 若，l，m，则lm； 若l，m，n，l，则mn. 其中真命题为_ 答案 ,3(2015福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点) (1)求证：MN平面CDEF； (2)求多面体ACDEF的体积,4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点 (1)求证：PA平面EFG； (2)求三棱锥PEFG的体积,解析 (1)证明 如图，取AD的中点H，连接GH，FH. E，F分别为PC，PD的中点， EFCD. G，H分别是BC，AD的中点， GHCD.EFGH. E，F，H，G四点共面 F，H分别为DP，DA的中点，PAFH. PA平面EFG，FH平面EFG， PA平面EFG.,5(2015衡水中学调研)如图所示，在几何体ABCDFE中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC. (1)求几何体ABCDFE的体积； (2)证明：平面ADE平面BCF.,(2)证明：由(1)知AOFG，AOFG， 四边形AOFG为平行四边形，AGOF. 又DEBC，DEAGG，DE平面ADE， AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF， 平面ADE平面BCF.,
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