资源描述
8.4 平行关系,考纲要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面. ( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. ( ) (3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( ),1,2,3,4,5,2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是 (只填序号). AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1; AD1DC1;AD1平面BDC1.,答案:,1,2,3,4,5,解析:连接AD1,BC1, 因为ABC1D1, 所以四边形AD1C1B为平行四边形, 故AD1BC1,从而正确; 易证BDB1D1,AB1DC1, 又AB1B1D1=B1,BDDC1=D, 故平面AB1D1平面BDC1,从而正确; 由图易知AD1与DC1异面,故错误; 因为AD1BC1,AD1平面BDC1,BC1平面BDC1,故AD1平面BDC1,故正确.,1,2,3,4,5,3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重合),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的直线是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,4.在四面体ABCD中,M,N分别是平面ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件 时,有MN平面B1BDD1.,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.推证线面平行时,一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内. 2.推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面. 3.利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时,必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1线面平行、面面平行的基本问题 例1(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若,m,n,则mn B.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则 D.若m,mn,n,则,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)设m,n表示不同直线,表示不同平面,则下列结论中正确的是( ) A.若m,mn,则n B.若m,n,m,n,则 C.若,m,mn,则n D.若,m,nm,n,则n,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何借助几何模型来找平行关系? 解题心得:线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是( ) A.b B.b C.b或b D.b与相交或b或b,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题: 若l与m为异面直线,l,m,则; 若,m,n,m,n,则mn; 若=l,=m,=n,l,则mn. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2直线与平面平行的判定与性质 例2正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ平面BCE.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:证明线面平行的关键是什么? 解题心得:证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法: (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线; (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行; (3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 如图,若PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F分别是AB,PD的中点,求证:AF平面PCE.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3平面与平面平行的判定与性质 例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面PMN平面A1BD.,证明:(方法一:判定定理法)如图,连接B1D1,B1C. P,N分别是D1C1,B1C1的中点, PNB1D1. 又B1D1BD, PNBD. 又PN平面A1BD,PN平面A1BD. 同理MN平面A1BD, 又PNMN=N, 平面PMN平面A1BD.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(方法二:性质定理法)如图,连接AC1,AC. ABCD-A1B1C1D1为正方体, ACBD. 又CC1平面ABCD, AC为AC1在平面ABCD上的射影. AC1BD. 同理可证AC1A1B, AC1平面A1BD. 同理可证AC1平面PMN, 平面PMN平面A1BD.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解题心得:面面平行的常用方法: (1)利用面面平行的判定定理; (2)面面平行的传递性(,); (3)利用线面垂直的性质(l,l).,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,证明:(1)在A1B1C1中,G,H分别是A1B1,A1C1的中点, GHB1C1. 又B1C1BC, GHBC, GH与BC确定一个平面, G,H,B,C, B,C,H,G四点共面.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC, EF平面BCHG,BC平面BCHG, EF平面BCHG. 易证A1GEB,四边形A1EBG是平行四边形, A1EGB. A1E平面BCHG,GB平面BCHG, A1E平面BCHG. A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.平行关系的转化方向如图所示: 2.直线与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.,答题模板如何作答平行关系证明题 典例(12分)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD. (1)求证:BE=DE; (2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.,规范解答:(1)如图,取BD的中点O,连接CO,EO. 由于CB=CD, 所以COBD. 1分 又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC, 所以BD平面EOC, (2分) 因此BDEO. (3分) 又O为BD的中点,所以BE=DE. (5分),(2)证法一:如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN. 因为M是AE的中点,所以MNBE. (6分) 又MN平面BEC, BE平面BEC, 所以MN平面BEC. (7分) 因为ABD为正三角形, 所以BDN=30. 又CB=CD,BCD=120, 所以CBD=30, 所以DNBC. (9分) 因为DN 平面BEC,BC平面BEC, 所以DN平面BEC. 又MNDN=N,故平面DMN平面BEC, (11分) 因为DM平面DMN,所以DM平面BEC. (12分),证法二:如图,延长AD,BC交于点F,连接EF. 因为CB=CD,BCD=120, 所以CBD=30. (7分) 因为ABD为正三角形, 所以BAD=60,ABC=90. 因此AFB=30, 所以AB= AF. (9分) 又AB=AD, 所以D为线段AF的中点. (10分) 连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DMEF. (11分) 因为DM 平面BEC,EF平面BEC, 所以DM平面BEC. (12分),答题模板:证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行; 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行; 第四步:反思回顾,检查关键点及答题规范. 证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面; 第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行; 第三步:证明所作平面与所证平面平行; 第四步:转化为线面平行; 第五步:反思回顾,检查答题规范.,
展开阅读全文