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,第二章 函数与基本初等函数,1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性,请注意 关于对数的运算近两年新课标高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有选择题、填空题，又有解答题，且综合能力较高,1对数 (1)对数的定义 如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 . (2)对数恒等式 alogaN (a0且a1，N0) logaab (a0且a1，bR),abN,logaNb,N,b,(3)对数运算法则(a0且a1，M0，N0) loga(MN) . logaMn .,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,1,logac,logab,2对数函数 (1)对数函数的概念 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 (2)对数函数的图像,(3)对数函数的性质 定义域为x ，值域为R. 恒过定点(1,0) a1时，ylogax在(0，)上为 ； 01，x1时，logax 0； 当a1,01时，logax 0.,(0，),增函数,减函数,1(课本习题改编)化简下列各式 (1)log26log23_； (2)lg5lg20_； (3)log35log345_. 答案 (1)1 (2)2 (3)2,2对于a0且a1，下列结论正确的是( ) 若MN，则logaMlogaN； 若logaMlogaN，则MN； 若logaM2logaN2，则MN； 若MN，则logaM2logaN2. A B C D 答案 C 解析 若MN0，则logaM，logaN，logaM2，logaN2无意义，若logaM2logaN2，则M2N2，即|M|N|，不正确，正确,3设yloga(x2)(a0且a1)，当a_时y为减函数；这时当x_时，y1 (2)0a1,答案 A,答案 B,题型一 对数式的化简与求值,探究1 在对数运算中，要注意以下几个问题： (1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并 (2)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化,【解析】 原式|13|lg32|lg30022lg3lg326. 【答案】 6,思考题1,【答案】 15 【讲评】 遇到幂的乘积求值时，“取对数”也是一种有效的方法,(3)(log32log92)(log43log83),题型二 利用对数函数的性质比较大小,(3)由指数函数的性质： 00，01，而0.90，5.10.91，即n1. 由对数函数的性质： 01，log0.95.10. 即p0.综上，pmn.,探究2 (1)比较两个指数幂或对数值大小的方法： 分清是底数相同还是指数(真数)相同； 利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小； 当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过渡处理 (2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行0,1分类，然后在每一类中比较大小,(1)已知alog23.6，blog43.2，clog43.6，则( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 【解析】 alog23.6log43.62log412.96，ylog4x是单调递增函数，而3.2cb.故选B. 【答案】 B,思考题2,(2)若loga(3)a1 Bab1 Dba，选A. 【答案】 A,例3 (1)作出函数ylog2|x1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数ylog2x的图像经过怎样的变换而得到,题型三 对数函数的图像,【解析】 作出函数ylog2x的图像，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图像，再将图像向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图像(如图所示) 由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，) 【答案】 略,【解析】 设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)21时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)(x1)2的图像在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)， 即(21)2loga2.loga21，1a2. 【答案】 C,探究3 (1)作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来一般是先作出基本函数的图像，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像 (2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图像解决，具体做法是：对不等式变形，不等号两边对应两函数在同一坐标系下作出两函数图像，比较当x在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或解的情况,(1)已知函数f(x)lgx，g(x)lnx，h(x)log3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( ) Ax2x3x1 Bx1x3x2 Cx1x2x3 Dx3x2x1 【答案】 B,思考题3,【答案】 C,题型四 综合应用,【答案】 (1)单调递增区间是(，1)，单调递减区间是(3，) (2)a值不存在,探究4 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的,若函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则实数a的取值范围是_ 【解析】 由于a0，且a1，uax3为增函数 若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数因此a1. 又uax3在1,3上恒为正，a30，即a3. 【答案】 (3，),思考题4,指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这部分基础知识相当重要 (1)搞清指数函数与对数函数的关系：即二者互为反函数，因此，图像关于直线yx对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的即a1时都为增函数，0a1时都为减函数,(2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型具体做法是：底数相同指数不同时，要考虑指数函数的单调性；底、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)再不行可考虑商值(或差值)比较法；对数函数型数值间的大小关系，底相同者考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值(如0或1)，或用换底公式化为同底最后可考虑比较法,答案 B,2(2013陕西文)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) Alogablogcblogca Blogablogcalogcb Cloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac 答案 B,答案 C,4(2013新课标全国理)设alog36，blog510，clog714，则( ) Acba Bbca Cacb Dabc 答案 D 解析 alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数ylog3x，ylog5x，ylog7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知abc，故选D.,5(2014陕西)已知4a2，lgxa，则x_.,答案 logba,
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