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,第二章 函数与基本初等函数,1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 2了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单应用,请注意 本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查特别是函数的表达式及图像，仍是2016年高考考查的重要内容,1函数与映射的概念,非空数集,非空集合,任意一个数,唯一的数,任意一个元素,唯一的元素,AB为从集合,AB为从集合,2函数 (1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射 (2)函数的三要素： (3)函数的表示法： (4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同,定义域 值域 对应法则,解析法 图像法 列表法,定义域和对应法则,3分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)AN，BN，f：xy|x1|，表示从集合A到集合B的映射(也是函数),(4)y2x(xN)的图像是一条直线 (5)ylgx2与y2lgx表示同一函数 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),22016年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下： 对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？ 答案 是 不是,答案 D,4.函数yf(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_ 答案 3,02,3 1,5 1,2)(4,5,答案 1,例1 下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？ (1)AN，BN，f：xy(x1)2； (4)A衡中高三一班的同学，B0,150，f：每个同学与其高考数学的分数相对应,题型一 函数与映射的概念,【解析】 (1)是映射，也是函数 (2)不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多” (3)当x1时，y值不存在，故应不是映射，更不是函数 (4)是映射，但不是函数，因为集合A不是数集 【答案】 (1)是映射，也是函数 (2)不是映射，更不是函数 (3)不是映射，更不是函数 (4)是映射，但不是函数,探究1 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓 (2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A，B为非空数集时，即成为函数 (3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余,(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是_,思考题1,【解析】 中：P中元素3在M中没有象中，P中元素2在M中有两个不同的元素与之对应中，P中元素1在M中有两个不同的元素与之对应 【答案】 ,(2)集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是( ) 【解析】 依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合 【答案】 C,例2 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？,f2： f3：,【解析】(1)不是f1(x)与f3(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R. (2)不是f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为xR|x0，f3(x)的定义域为xR|x0 (3)同一函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方法 【答案】 不同函数(1)(2)；同一函数(3),探究2 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同 (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数,下列函数中一定是同一函数的是_ (1)yx与yalogax； (2)y2x12x与y2x； (4)yf(x)与yf(x1),思考题2,【解析】 (1)yx与yalogax定义域不同； (2)y2x12x2x(21)2x相同； (3)f(u)与f(v)的定义域及对应法则均相同； (4)对应法则不相同 【答案】 (2)(3),题型二 函数的解析式,【答案】 f(x)x21(x1),(2)已知f(x)是一次函数，并且ff(x)4x3，求f(x) 【解析】 设f(x)axb(a0)， 则ff(x)f(axb)a(axb)b a2xabb4x3. 【答案】 f(x)2x1或f(x)2x3,(3)2f(x)f(x)lg(x1)，x(1,1)，求f(x) 【解析】 以变量x代替变量x，于是有： 2f(x)f(x)lg(x1)， 2f(x)f(x)lg(x1) 由消去f(x)，得 【答案】 f(x)lg(x1)lg(1x)，(1x1),探究3 函数解析式的求法： (1)凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围,已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式,思考题3,(2)设f(x)ax2bxc(a0)， 则f(x)2axb2x2， a1，b2，f(x)x22xc. 又方程f(x)0有两个相等实根， 44c0，c1，故f(x)x22x1.,题型三 分段函数与复合函数,【答案】 2,【答案】 (，,探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化,(1)(2014江西理)已知函数f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若fg(1)1，则a( ) A1 B2 C3 D1 【解析】 g(x)ax2x，g(1)a1. f(x)5|x|，fg(1)f(a1)5|a1|1. |a1|0，a1. 【答案】 A,思考题4,【答案】 D,常用结论记心中，快速解题特轻松： 1映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！ 2函数问题定义域优先！ 3抽象函数不要怕，赋值方法解决它！ 4分段函数分段算，然后并到一起保平安,本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径,从近几年的新课标高考试题可以看到，高考试题严格遵循教学大纲及高考大纲，有一定数量的试题直接源自教材，这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲，全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学，对各模块的内容要注重全面，更要突出重点，对重点内容、通解通法要讲清讲透,1已知f(x)k(xR)，则f(k3)等于( ) 答案 B,2下列各图中，不可能表示函数yf(x)的图像的是( ) 答案 B 解析 B中一个x对应两个函数值，不符合函数定义,3设f，g都是从A到A的映射(其中A1,2,3)，其对应关系如下表： 则f(g(3)等于( ) A1 B2 C3 D不存在,答案 C 解析 由表格可知g(3)1，f(g(3)f(1)3.故选C.,4已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 对，当x1时，x21A，故错误，由函数定义可知均正确,答案 1 007 解析 根据题意：f(2 016)f(2 014)1f(2 012)2f(2)1 007f(0)1 0081 007.,6(2015黄冈一模)如图，已知四边形ABCD.若四边形ABCD上的点在映射f：(x，y)(x1,2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是( ),A9 B6 C6 D12 答案 B 解析 由于四边形ABCD在映射f：(x，y)(x1,2y)作用下的象集四边形A1B1C1D1只是将原图像上各点的横坐标向左平移一个单位，纵坐标伸长为原来的2倍，故四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的2倍，故选B.,抽象函数 【解析】 令x1x2， 则f()f()2f()f(0)，f(0)1. 【答案】 1,例2 已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2R恒有f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x21，则函数f(x)的解析式为_ 【解析】 取x1x20，所以f(0)2f(0)1. 所以f(0)1. 因为fx(x)f(x)f(x)2x(x)1， 又f(x)f(x)，所以f(x)x21. 【答案】 f(x)x21,【讲评】 抽象函数问题的处理一般有两种途径： (1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象函数解决问题 (2)利用特殊值代入寻求规律和解法,
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