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,第二章 函数与基本初等函数,1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系 2根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解,请注意 1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点 2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示 所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件,1函数零点的概念 零点不是点！ (1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x； (2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标 2函数零点与方程根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 ,x轴,零点,3函数零点的判断 如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 .那么，函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 4二分法的定义 对于在a，b上连续不断，且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的 所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f(a)f(b)0,(a，b),f(a)f(b)0,零点,一分为二,5用二分法求函数f(x)零点近似值 (1)确定区间a，b，验证 ，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点x1； (3)计算f(x1)； 若 ，则x1就是函数的零点； 若 ，则令bx1，(此时零点x0(a，x1)； 若 ，则令ax1，(此时零点x0(x1，b) (4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4),f(a)f(b)0,f(x1)0,f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 (2)若函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0. (3)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点 (4)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实根 答案 (1) (2) (3) (4),2方程2xx23的实数解的个数为( ) A2 B3 C1 D4 答案 A 解析 构造函数y2x与y3x2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程2xx23的实数解的个数为2.故选A.,答案 C,4下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 答案 C 解析 A，B图中零点两侧不异号，D图不连续故选C.,5若在二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是_ 答案 2,例1 (1)(2013天津理)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为( ) A1 B2 C3 D4,题型一 零点的个数及求法,【答案】 B,(2)函数f(x)xcos2x在区间0,2上的零点的个数为( ) A2 B3 C4 D5,【答案】 D,探究1 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 (3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是_ 【解析】 f(x)2xln23x2，在(0,1)上f(x)0恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增 又f(0)10， f(x)在区间(0,1)上存在一个零点 【答案】 1,思考题1,题型二 求零点所在区间,【答案】 D,探究2 此类题的解法是将f(x)0，拆成f(x)g(x)h(x)0，画出h(x)与g(x)的图像，从而确定方程g(x)h(x)的根所在的区间,设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4),思考题2,【解析】 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图像交点的横坐标所在的范围作图如图所示： 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2) 【答案】 B,题型三 零点性质的应用,探究3 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解,若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，求实数a的取值范围 【解析】 函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图像有两个交点,思考题3,当01时，图像如图所示，此时有两个交点 实数a的取值范围为(1，) 【答案】 (1，),例4 (1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_,题型四 二分法,【答案】 (0,0.5) f(0.25),(2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_,探究4 利用二分法求近似解需注意的问题： (1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的,在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_,思考题4,【答案】 7,1函数零点的性质： (1)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； (2)若函数f(x)的图像在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点,2函数零点的求法： 求函数yf(x)的零点： (1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点； (3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点),3有关函数零点的重要结论： (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号,答案 C,答案 B,3(2015唐山一中模拟)设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( ) A0,1 B1,2 C2，1 D1,0 答案 D 解析 函数f(x)在区间a，b上有零点，需要f(x)在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.,答案 B,5如果函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_,二次函数的零点问题 例1 若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，求实数a的取值范围,例2 m为何值时，f(x)x22mx3m4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比1大 【解析】 (1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.,【答案】 (1)m4或m1 (2)(5，1),【讲评】 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件，这里涉及到三个“二次问题”的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用,
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