资源描述
第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.9 函数模型及其应用,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,答题模板系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,知识梳理,1,(2)三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,答案,2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；,(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( ) (3)不存在x0，使 ( ) (4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.( ),答案,思考辨析,(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.( ),答案,1.(2015北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.,注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为_升.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析 由表知：汽车行驶路程为35 60035 000600千米， 耗油量为48升， 每100千米耗油量8升. 答案 8,解析答案,1,2,3,4,5,2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为_.,当y12时，S有最大值，此时x15.,15,12,解析答案,1,2,3,4,5,解析 设年平均增长率为x， 则(1x)2(1p)(1q)，,3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_.,解析答案,1,2,3,4,5,4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_. 解析 设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，,当x3时，y最大.,3,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时.,24,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 用函数图象刻画变化过程,例1 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是_(填序号).,解析答案,解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除. 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除，符合题意. 答案 ,(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是_(填序号).,解析答案,思维升华,解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得， 曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大， 故函数的图象应一直是下凹的， 故正确. 答案 ,思维升华,思维升华,判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.,已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是_(填序号).,解析 依题意知当0x4时，f(x)2x； 当4x8时，f(x)8； 当8x12时，f(x)242x，观察四个图象知，正确.,跟踪训练1,解析答案,题型二 已知函数模型的实际问题,例2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3 (其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.,即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，,解 由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，,(1)求出a、b的值；,解析答案,(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？,所以要使飞行速度不低于2 m/s，,所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s， 则其耗氧量至少要270个单位.,解析答案,思维升华,思维升华,求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.,解析 由图象可求得一次函数的解析式 为y30x570， 令30x5700，解得x19.,19,跟踪训练2,解析答案,题型三 构造函数模型的实际问题,命题点1 构建二次函数模型,例3 某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.,解析答案,因为x0,16，且xN， 所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元. 答案 43,解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆， 则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，,命题点2 构建指数函数、对数函数模型,例4 (1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是_(参考数据：lg 20.301 0,100.007 51.017). 解析 设每年人口平均增长率为x， 则(1x)402，两边取以10为底的对数， 则40 lg(1x)lg 2，,所以100.007 51x，得1x1.017， 所以x1.7%.,1.7%,解析答案,(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为_. 略有盈利 略有亏损 没有盈利也没有亏损 无法判断盈亏情况 解析 设该股民购进这支股票的价格为a元， 则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元， 经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa， 故该股民这支股票略有亏损.,解析答案,命题点3 构建分段函数模型,例5 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km. 解析 设出租车行驶x km时，付费y元，,9,由y22.6，解得x9.,解析答案,思维升华,思维升华,构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.,(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车.(精确到1小时) 解析 设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(125%)x0.09， 0.75x0.3，xlog0.750.34.19. x最小为5.,5,跟踪训练3,解析答案,(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_.,解析答案,返回,即x10时取等号.,答案 10,解析 设该企业需要更新设备的年数为x， 设备年平均费用为y， 则x年后的设备维护费用为242xx(x1)，,返回,答题模板系列,答题模板系列,2.函数应用问题,解析答案,规范解答 解 当0x40时，WxR(x)(16x40) 6x2384x40， 2分,(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.,思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.,答题模板,解析答案,返回,温馨提醒,思维点拨,即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 760.12分 综合知， 当x32时，W取得最大值6 104万元. 14分,规范解答 解 当0x40时，W6(x32)26 104， 所以WmaxW(32)6 104； 8分,答题模板,温馨提醒,答题模板,解函数应用题的一般程序 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数 学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果 对实际问题的合理性.,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.,思想方法 感悟提高,1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤：审题；建模；解模；还原；反思.,方法与技巧,1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为_.,解析 根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图象为.,15,解析答案,2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元. 解析 设进货价为a元， 由题意知132(110%)a10%a， 解得a108.,108,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是_.,解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_元. 解析 设每个售价定为x元， 则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225. 当x95时，y最大.,95,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解得2x8. 故x的最小值为2. 答案 2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m. 解析 设内接矩形另一边长为y，,解得y40x， 所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)， 当x20时，Smax400.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析 当t0时，ya，当t8时，,16,则t24，所以再经过16 min.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润f(x)(万元)与机器运转时间x(xN*)(年)的函数关系式为f(x)x218x25，则每台机器运转_年时，年平均利润最大，为_万元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 设每台机器的年平均利润为g(x)万元， 根据已知条件得，每台机器的年平均利润g(x)关于运转时间x的函数关系式为,故每台机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元.,答案 5 8,9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)(元)成反比例.又当x0.65时，y0.8. (1)求y与x之间的函数关系式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,把x0.65，y0.8代入上式，,解 y与(x0.4)成反比例，,(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价),整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6. 经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根. x的取值范围是0.550.75， 故x0.5不符合题意，应舍去.x0.6. 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,当t1时，由y4得k4，,(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)_.,n21.,21,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得,80,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,13.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个. 解析 当t0.5时，y2，,2ln 2,1 024,k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 024.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,bc(ba)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得x2x10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,可知当x(0,9)时，W0， 当x(9,10时，W0， 当x9时，W取极大值，即最大值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,综合知，当x9时，W取最大值， 故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,
展开阅读全文