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,第三章 导数及应用,理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围 请注意 极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考查形式多样,1函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值,(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果xx0有f(x) 0，那么f(x0)是极大值； 如果xx0有f(x) 0，那么f(x0)是极小值,2求可导函数f(x)极值的步骤 (1) ； (2) ； (3)检验f(x)在方程f(x)0的 的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得 ,求导数f(x),求方程f(x)0的根,根左右的值,极大值,极小值,3函数的最值的概念 设函数yf(x)在 上连续，在 内可导，函数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大(最小)值 4求函数最值的步骤 设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最值，可分两步进行： (1) ； (2) ,a，b,(a，b),求f(x)在(a，b)内的极值,将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个,是最大值，最小的一个是最小值,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 (2)函数的极大值不一定比极小值大 (3)导数等于0的点一定是函数的极值点 (4)若x0是函数yf(x)的极值点，则一定有f(x0)0. (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 (6)函数f(x)xsinx有无数个极值点 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),2函数yx33x29x(2x2)有( ) A极大值为5，极小值为27 B极大值为5，极小值为11 C极大值为5，无极小值 D极大值为27，无极小值 答案 C 解析 y3x26x93(x22x3) 3(x3)(x1)， y0时，x3或x1. 2x2，x1时，y5. x1为极大值点，极大值为5，无极小值,3函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是( ) A5，15 B5，4 C4，15 D5，16 答案 A 解析 y6x26x120，得x1(舍去)或2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，选A.,4若函数yexmx有极值，则实数m的取值范围( ) Am0 Bm1 Dm1 答案 B 解析 yexm，则exm0必有根，mex0.,5.若函数f(x)的导函数f(x)的图像，如右图所示，则( ) Ax1是最小值点 Bx0是极小值点 Cx2是极小值点 D函数f(x)在(1,2)上单调递增 答案 C 解析 由导数图像可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值点，x2为极小值点，选C.,题型一 利用导数研究函数极值,探究1 掌握可导函数求极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f(x)0是函数有极值的必要条件,已知函数f(x)x212alnx(a0)求函数f(x)的极值,思考题1,【答案】 a0时极小值为a1alna,例2 已知f(x)ax5bx3c(a0)若f(x)在x1处有极值，且极大值为4，极小值为1，求a，b，c. 【思路】 显然有f(1)f(1)0.难点区分：x为何值f(x)取得极大值x为何值f(x)取得极小值,题型二 利用极值求参数值,探究2 已知极值求参数值或范围时，关键是利用单调性判断出哪个是极大值点，哪个是极小值点,(1)若函数f(x)x33ax23(a2)x6有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_ 【解析】 f(x)3x26ax3(a2) 令3x26ax3(a2)0，即x22axa20. 函数f(x)有极大值和极小值， 方程x22axa20有两个不相等的实根 即4a24a80，a2或a2或a1,思考题2,(2)已知函数f(x)x33ax23x1. 设a2，求f(x)的单调区间； 设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求实数a的取值范围,例3 (2014衡水中学调研)已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa) (1)求导函数f(x)； (2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值 【解析】 (1)由f(x)x3ax24x4a， 得f(x)3x22ax4.,题型三 利用导数求函数的最值,探究3 (1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得 (2)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值,已知函数f(x)lnxax(aR) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值,思考题3,当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a. 综上可知， 当0aln2时，函数f(x)的最小值是a； 当aln2时，函数f(x)的最小值是ln22a.,题型四 利用最值求参数值,【答案】 (1)单调递增区间为(1，e，单调递减区间为(0,1)，极小值为1 (2)略 (3)存在ae2,探究4 利用最值求参数的值或范围是高考命题的热点、热度一直不减、常考常新、具有非常旺盛的生命力，一定要引起重视，有时与恒成立问题综合命题,已知函数f(x)ax36ax2b，是否存在参数a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由 【解析】 显然a0，f(x)3ax212ax3a(x24x) 令f(x)0，得x0或x4(舍去) 当a0时，如下表：,思考题4,当x0时，f(x)取得最大值，f(0)3，b3. 又f(1)7a3f(2)16a3， 最小值f(2)16a329，a2. 当a0时，如下表：,1函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只是定义域的局部问题 2f(x0)0是f(x)在xx0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f(x)的符号是否相反 3求f(x)的最值应注意在闭区间上研究，还是在开区间上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可，若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性,1设函数f(x)xex，则( ) Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 答案 D 解析 f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.,答案 B,答案 B,答案 A,5已知f(x)x3px2qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值4，那么p，q值分别为( ) A6,9 B9,6 C4,2 D8,6 答案 A,6(2014安徽)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值,又f(0)1，f(1)a，所以 当0a1时，f(x)在x1处取得最小值； 当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值； 当1a4时，f(x)在x0处取得最小值,
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