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3.2 导数的应用,课时3 导数与函数的综合问题,内容索引,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,题型二 利用导数解决函数零点问题,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,审题路线图系列,练出高分,思想方法 感悟提高,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,题型一 用导数解决与不等式有关的问题,命题点1 解不等式,又(2)0，当且仅当00，此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).,(，2)(0,2),解析答案,命题点2 证明不等式,解析答案,又F(0)0，F(1)0，所以当x0,1时，F(x)0，,解析答案,记H(x)sin xx， 则当x(0,1)时，H(x)cos x10， 所以H(x)在0,1上是减函数， 则H(x)H(0)0，即sin xx.,命题点3 不等式恒成立问题,(1)用a表示b，并求b的最大值；,解析答案,由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，,解 设两曲线的公共点为(x0，y0)，,解析答案,当t(13ln t)0， h(t)0.,于是当t(13ln t)0， h(t)0；,(2)求证：f(x)g(x)(x0).,故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数. 于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0. 故当x0时，有f(x)g(x)0， 即当x0时，f(x)g(x).,解析答案,思维升华,思维升华,(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可； (3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.,若f(x)x2在(1，)上恒成立，求a的取值范围.,跟踪训练1,解析答案,返回,当x(1，)时，h(x)0， h(x)在(1，)上是减函数， h(x)h(1)20，即g(x)0. g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1， 当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立.,返回,又x0，axln xx3， 令g(x)xln xx3，则h(x)g(x)1ln x3x2，,题型二 利用导数解决函数零点问题,题型二 利用导数解决函数零点问题,例4 (2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a； 解 f(x)3x26xa，f(0)a. 曲线yf(x)在点(0,2)处的切线方程为yax2.,解析答案,(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,解析答案,思维升华,证明 由(1)知，f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增， g(1)k10时，令h(x)x33x24， 则g(x)h(x)(1k)xh(x).,解析答案,思维升华,h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增， 所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)没有实根. 综上，g(x)0在R有唯一实根， 即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,思维升华,思维升华,研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.,已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围. 解 f(x)x(2cos x)， 令f(x)0，得x0. 当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增. 当x1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点. 综上可知，b的取值范围是(1，).,跟踪训练2,解析答案,返回,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,题型三 利用导数解决生活中的优化问题,(1)求a的值； 解 因为x5时，y11，,解析答案,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解析答案,思维升华,解 由(1)可知，该商品每日的销售量为,从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解析答案,思维升华,由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,思维升华,思维升华,在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.,解析 由yx239x400， 得x1或x40， 由于040时，y0. 所以当x40时，y有最小值.,40,跟踪训练3,解析答案,返回,审题路线图系列,(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；,审题路线图系列,一审条件挖隐含,审题路线图,解析答案,返回,温馨提醒,审题路线图,(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质 g(x)maxg(x)minM 求得M的最大整数值,审题路线图,解析答案,温馨提醒,(2)对任意s，t ，2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含义) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分离参数a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1,解析答案,温馨提醒,规范解答 解 (1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM. 2分,g(x)maxg(2)1.,又x0,2，,解析答案,温馨提醒,则满足条件的最大整数M4. 6分,解析答案,温馨提醒,所以h(x)maxh(1)1， 13分 所以a1，即实数a的取值范围是1，). 14分,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化.(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题.,思想方法 感悟提高,1.用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口. 2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用. 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,方法与技巧,1.利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到. 2.利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立. 当x0时，aR； 当x0时，有x2a恒成立， 所以a2.故a2.,由(2)得ln(x1)ax0在区间(0，)上恒成立， 设h(x)ln(x1)ax(x0)，,解析答案,当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数， 所以h(x)h(0)0恒成立；,故h(x)为减函数， 所以h(x)h(0)0恒成立，显然不符合题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当00，满足h(x0)ln(x01)ax00成立.,则h(x0)ln 520成立，可知0a1时，不符合题意. 故a0. 由可知a的取值范围是2,0. 答案 2,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.若0x1x21，则下列关系正确的是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由0f(x2)，,答案 ,当0x1时，f(x)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件. 解析 y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_. 解析 由题意得f(x)12x22ax2b. f(x)在x1处有极值， f(1)122a2b0，ab6. a0，b0，,9,当且仅当ab3时取等号， 易知此时f(x)在x1处有极小值，满足题意，ab的最大值为9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以2x2b0，于x22a0在x(a，b)上恒成立. x22a0的解集为,解析 由题意知f(x)x22a，g(x)2x2b， 函数f(x)与g(x)在区间(a，b)上单调性相反， 则有(x22a)(2x2b)0在x(a，b)上恒成立，又0ab，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 f(x)2axb，f(0)b0.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由2f(x)xf(x)x2，x0， 即为F(x2 014)F(2)0，即F(x2 014)F(2)， 又因为F(x)在(，0)上是减函数， 所以x2 0142，所以x2 016. 答案 (，2 016),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若对于任意实数x0，函数f(x)exax恒大于零，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 当x0时，f(x)exax0恒成立. 若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成立. 若x0，f(x)exax0恒成立，,当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增， 当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，). 答案 (e，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间与极值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 由f(x)ex2x2a，xR， 知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)， f(x)在xln 2处取得极小值， 极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1. 证明 设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0). 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0. 即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元， 底面的总成本为160r2元， 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元. 又根据题意200rh160r212 000，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.,令V(r)0，解得r5或5(因为r5不在定义域内，舍去). 当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1为函数g(x)f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象的是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,ca0，ca.f(x)ax2bxa. 若方程ax2bxa0有两根x1，x2，,答案 ,解析 设h(x)f(x)ex， 则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex. 由x1为函数f(x)ex的一个极值点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,因此g(x)的最大值为4， 则实数a的取值范围是4，). 答案 4，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是_.,解析 a0时，不符合题意， a0时，f(x)3ax26x，,若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意. 则a0知，,化简得a24，又a0，所以a2.,(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.设函数f(x)a2ln xx2ax，a0. (1)求f(x)的单调区间； 解 因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，,由于a0， 所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立. 解 由题意得f(1)a1e1，即ae. 由(1)知f(x)在1，e内单调递增， 要使e1f(x)e2对x1，e恒成立.,解得ae.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)求b；,由题设知f(1)0，解得b1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,
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