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3.2 导数的应用,课时2 导数与函数的极值、最值,内容索引,题型一 用导数解决函数极值问题,题型二 用导数求函数的最值,题型三 函数极值和最值的综合问题,答题模板系列,练出高分,思想方法 感悟提高,题型一 用导数解决函数极值问题,题型一 用导数解决函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值,例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是_. 解析 由题图可知，当x0； 当22时，f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.,f(2)、f(2),解析答案,命题点2 求函数的极值,解析答案,当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：,解析答案,当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：,命题点3 已知极值求参数 例3 (1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.,解析 由题意得f(x)3x26axb，,经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值， 而a2，b9满足题意，故ab7.,7,解析答案,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,(1)求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.,3,当x0；当x1时，y0. 当x1时，y取极大值3.,跟踪训练1,解析答案,解析答案,返回,(2)(2015陕西)函数yxex在其极值点处的切线方程为_,解析 设yf(x)xex，令yexxexex(1x)0，得x1. 当x1时，y0； 当x1时，y0， 故x1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，,题型二 用导数求函数的最值,题型二 用导数求函数的最值,(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；,解析答案,即x4y4ln 240.,(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值.,解析答案,思维升华,令f(x)0，得xa. 若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值. 若00，函数f(x)在区间(a，e上单调递增， 所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.,解析答案,思维升华,若ae，则当x(0，e时，f(x)0， 函数f(x)在区间(0，e上单调递减，,综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值； 当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；,思维升华,思维升华,求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,解析 由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.,1,跟踪训练2,解析答案,返回,题型三 函数极值和最值的综合问题,题型三 函数极值和最值的综合问题,(1)求f(x)的单调区间；,解析答案,令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0， 所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点， 且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0， 所以30，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间是(3,0)，单调递减区间是(，3)，(0，).,(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.,解析答案,思维升华,解 由(1)知，x3是f(x)的极小值点，,解得a1，b5，c5，,因为f(x)的单调递增区间是(3,0)，单调递减区间是(，3)，(0，)，,解析答案,思维升华,所以f(0)5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.,思维升华,思维升华,求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,设函数f(x)ax33x1 (xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_,跟踪训练3,解析答案,返回,解析 若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；,返回,g(x)在区间1,0)上单调递增， g(x)ming(1)4， 从而a4，综上可知a4.,答题模板系列,典例 (14分)已知函数f(x)ln xax (aR). (1)求函数f(x)的单调区间； 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意定义域. (2)先研究f(x)在1,2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.,答题模板系列,3.利用导数求函数的最值问题,解析答案,思维点拨,规范解答,解析答案,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,解析答案,返回,温馨提醒,规范解答,所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.7分,所以f(x)的最小值是f(1)a.9分,答题模板,解析答案,温馨提醒,综上可知， 当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a. 14分,又f(2)f(1)ln 2a，,答题模板,温馨提醒,答题模板,用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最 大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,温馨提醒,(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，不准确的情况. (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.,温馨提醒,返回,思想方法 感悟提高,1.如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值. 4.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小.,方法与技巧,1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.当函数yx2x取极小值时，x_. 解析 令y2xx2xln 20，,15,解析答案,2.函数yln xx在x(0，e上的最大值为_. 解析 函数yln xx的定义域为(0，).,1,当x(0,1)时，y0，函数单调递增； 当x(1，e时，y0，函数单调递减. 当x1时，函数取得最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_. 解析 因为f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1， 所以1,1为函数的极值点. 又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1， 所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19. 又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint， 从而t20，所以t的最小值是20.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,f(x)x34x211x16， f(2)18. 答案 18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10， f(1)10，且f(1)0，,5.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_. 解析 f(x)3x22ax(a6)， 由已知可得f(x)0有两个不相等的实根. 4a243(a6)0， 即a23a180. a6或a3.,(，3)(6，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)x22x3，f(x)0，x0,2， 得x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_. 解析 yexax， yexa. 函数yexax有大于零的极值点， 则方程yexa0有大于零的解， x0时，ex1， aex1.,(，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_. 解析 f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数递增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值； 解 因为f(x)a(x5)26ln x，,令x1，得f(1)16a，f(1)68a， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)， 由点(0,6)在切线上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0，解得x2或3. 当03时，f(x)0， 故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数； 当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,在x3处取得极小值f(3)26ln 3. 综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，单调减区间为(2,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间； 解 由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1. f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：,所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k； 当0k11，即1k2时， f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1； 当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k； 当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1； 当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由题意得g(x)0恒成立，,所以x0，所以不等式的解集为(0，),(0，),12.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_.,解析 根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除、； 从适合f(x)0的点可以排除.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,13.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,所以f(x)的单调递减区间是(1,1). 答案 (1,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)3x230，得x1， 且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点. 函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值， 则函数f(x)极小值点必在区间(a,6a2)内， 即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,不等式a33af(1)2，,即a33a20，即a313(a1)0， 即(a1)(a2a2)0， 即(a1)2(a2)0，即a2. 故实数a的取值范围是2,1). 答案 2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,15.已知函数f(x)(ax2)ex在x1处取得极值 (1)求a的值； 解 f(x)aex(ax2)ex (axa2)ex， 由已知得f(1)0，即(2a2)e0，解得a1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求函数f(x)在m，m1上的最小值；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 f(x)(x2)ex， f(x)ex(x2)ex(x1)ex. 令f(x)0，得x1， 令f(x)0，得x1. 所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 当m1时，f(x)在m，m1上单调递增，f(x)minf(m)(m2)em； 当0m1时，m1m1，f(x)在m,1上单调递减，在1，m1上单调递增，f(x)minf(1)e；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,当m0时，m11，f(x)在m，m1上单调递减，f(x)minf(m1)(m1)em1. 综上，f(x)在m，m1上的最小值,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,(3)求证：对任意x1，x20,2，都有|f(x1)f(x2)|e. 证明 由(2)知f(x)(x2)ex，f(x)(x1)ex. 令f(x)0，得x1. 因为f(0)2，f(1)e，f(2)0， 所以x0,2时，f(x)max0，f(x)mine. 所以对任意x1，x20,2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)mine.,
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