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,第七章 不等式及推理与证明,1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点,请注意 不等式的证明是高考的一个重要内容，也是一类难点一方面是证明的方法灵活多样，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点另一方面是知识的交汇与解题能力的综合，传统的纯不等式的证明问题很少在高考中出现，但是与三角函数、数列、导数等知识的综合命题却显得非常活跃，对考生综合运用知识和逻辑推理能力有较高的要求,1综合法 一般地，利用_，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：,已知条件和某些数学定义、公理、定理等,推理论证,2分析法 一般地，从要 出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明的方法叫做分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：,证明的结论,充分条件,3反证法 一般地，假设 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明 ，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法,原命题不成立,矛盾,假设错误,1用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即，所以是的必要条件,2(课本改编题)用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为_ 答案 a，b都不能被5整除,3设p2x41，q2x3x2，xR，则p与q的大小关系是_ 答案 pq 解析 pq2x42x3x21 2x3(x1)(x1)(x1) (x1)(2x3x1) (x1)2(2x22x1)0， pq.,4设a，b是两个实数，给出下列条件： ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填上序号) 答案 解析 取a2，b1，则a2b22，从而推不出 能够推出，即若ab2，则a，b中至少有一个大于1. 用反证法证明如下： 假设a1，且b1，则ab2与ab2矛盾 因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.,题型一 综合法,【思路】 (1)利用导数的几何意义求解参数的值；(2)利用分类讨论的思想转化求解,探究1 综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法，因此要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性综合法是直接证明中最常用的表述方法,思考题1,【答案】 (1)a1，b1 (2)略,题型二 分析法,【思路】 当所给的条件简单，所证的结论复杂的，一般采用分析法,【答案】 略,探究2 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时则所证命题得证,思考题2,【答案】 略,例3 (2013陕西理)设an是公比为q的等比数列 (1)推导an的前n项和公式； (2)设q1，证明数列an1不是等比数列 【解析】 (1)设an的前n项和为Sn， 当q1时，Sna1a1a1na1； 当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1， qSna1qa1q2a1qn，,题型三 反证法,【答案】 略,探究3 (1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器 (2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误,(1)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A方程x2axb0没有实根 B方程x2axb0至多有一个实根 C方程x2axb0至多有两个实根 D方程x2axb0恰好有两个实根 【答案】 A,思考题3,(2)实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数 【证明】 假设a，b，c，d都是非负数，则由abcd1，得1(ab)(cd)acbdadbcacbd，即acbd1，这与acbd1矛盾，故假设不成立 即a，b，c，d中至少有一个为负数 【答案】 略,1综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用 2反证法证明的关键：准确反设；从否定的结论正确推理；得出矛盾,1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D等价条件 答案 A,2若a0，b0，且ab4，则下列不等式中恒成立的是( ) 答案 D,3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( ) Aa，b，c中至少有两个偶数 Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 Ca，b，c都是奇数 Da，b，c都是偶数 答案 B,答案 略 证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac， 又a，b，c为互不相等的非负数， 上面三个式子中都不能取“” a2b2c2abbcac.,用换元法与放缩法证明不等式 一、换元法证不等式 例1 已知a，bR，a2b24. 求证：|3a28ab3b2|20. 【思路】 本题主要考查证明不等式的常用方法，根据条件a2b24的特征，可运用换元法进行证明,【解析】 a，bR，a2b24， 可设arcos，brsin(R)，其中0r2. |3a28ab3b2|r2|3cos24sin2| 5r2|cos(2)|5r220. 原不等式成立 【讲评】 容易出现令a2cos，b2sin，0,2这样错误的换元法，造成失误,探究1 有些不等式直接证明较为困难，但通过换元的思想方法可使问题便于研究常见的换元是三角换元，用三角代换把问题转化为三角问题，利用三角函数的性质就可解决根据实际情况，实施的代换方法有：,(1)设xy1，x，y(0，)，则x2y2xy的最小值为( ),思考题1,【答案】 B,思考题2,【答案】 B,
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