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第四节 直线、平面平行的判定及其性质,3.常用的数学方法与思想 构造法、转化与化归思想、数形结合思想.,1.若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是 ( ) A.内所有的直线都与a异面 B.内不存在与a平行的直线 C.内所有的直线都与a相交 D.直线a与平面有公共点 1.D 【解析】直线a不平行于平面,包括直线a与平面相交或a.,2.下列命题中正确命题的个数是 ( ) 一条直线和另一条直线平行,那么它和经过另一条直线的任何平面平行;一条直线平行于一个平面,则这条 直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;若直线与平面不 平行,则直线与平面内任一直线都不平行;与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行. A.0 B.1 C.2 D.3 2.B 【解析】这条直线可能在这个平面上,所以错误;显然正确;若直线与平面相交,则与这个平面内 任意一条直线都不平行;若直线在平面内,则与这个平面内无数条直线平行,所以错误;这条直线也可能在平 面内,所以错误.,3.已知m,n为异面直线,m平面,n平面,=l,则l ( ) A.与m,n都相交 B.与m,n中至少一条相交 C.与m,n都不相交 D.与m,n中一条相交 3.C 【解析】m平面,n平面,m与平面没有公共点,n与平面没有公共点,又=l,l,l, l与m,n都不相交. 4.若M,N分别是ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面的位置关系是 . 4.MN或MN,5.【解析】连接ED交AC于点O,连接OF,因为AECD为菱形,OE=OD,F为B1D的中点,所以FOB1E.因为FO平面ACF,B1E平面ACF,所以B1E平面ACF.,典例1 设m,n为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题: 若m,m,则; 若a,b,a,b,则ab; 若m,mn,则n; 若,a,b,则a,b没有交点. 其中的正确命题序号是( ) A. B. C. D. 【解题思路】利用相关定理逐一判断.若m,m,则,平行或相交,错误;由线面平行的性质定理可知正确; 若m,mn,则n或n,错误;由面面平行的性质可知a,b平行或异面,正确. 【参考答案】 B,【变式训练】 (2015宁波十校联考)已知直线m和平面,则下列结论一定成立的是( ) A.若m,则m B.若mn,m,n,则 C.若mn,m,则n D.若m,则m D 【解析】若m,则m或m,A错误;若mn,m,n,则与平行或相交,B错误; 若mn,m,则n或n,C错误;由面面平行的性质可知D正确.,命题角度1:直线与平面平行的证明 典例2 (2015山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD平面FGH.,【解题思路】可通过作辅助线证BD与平面FGH中的一条直线平行,或通过证BD所在平面ABED与平面FGH平行,皆可证BD平面FGH.,【参考答案】解法1:连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH. 在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G为AC的中点, 可得DFGC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形, 则O为CD的中点, 又H为BC的中点, 所以OHBD, 又OH平面FGH,BD平面FGH, 所以BD平面FGH.,解法2:在三棱台DEF-ABC中, 由BC=2EF,H为BC的中点, 可得BHEF,BH=EF, 所以四边形BHFE为平行四边形, 可得BEHF. 在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点. 所以GHAB. 又GHHF=H, 所以平面FGH平面ABED. 因为BD平面ABED, 所以BD平面FGH.,【变式训练】 (2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)证明:直线MN平面BDH.,典例3 如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于点F.证明:EFB1C.,【解题思路】本题考查空间线线、线面以及面面平行关系的转化、二面角的求解.通过正方体的切割体为载体加以考察.注意把原正方体还原出来,再通过综合法或向量法求解证明.,【参考答案】由正方形的性质可知A1B1ABDC,且A1B1=AB=DC, 所以四边形A1B1CD为平行四边形, 从而B1CA1D, 又A1D平面A1DE,B1C平面A1DE, 于是B1C平面A1DE. 又B1C平面B1CD1,平面A1DE平面B1CD1=EF, 所以EFB1C.,【变式训练】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,A1D1,C1D1的中点(如图).若P是A1B1上的一点,BP平面ECF,求A1PA1B1的值.,【解题思路】(1)证明平面A1BD上的两条相交直线平行于平面CD1B1,再由面面平行的判定定理即可证明;(2)利用柱体的体积公式求解.,【变式训练】 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PMMA=BNND=PQQD.求证:平面MNQ平面PBC.,【解析】PMMA=BNND=PQQD, MQAD,NQBP,而BP平面PBC,NQ平面PBC,NQ平面PBC. 又ABCD为平行四边形,BCAD, MQBC,而BC平面PBC,MQ平面PBC, 平面MNQ平面PBC.,
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