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第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算,1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系的概念 在空间选定一点O作为坐标原点,从O出发引三条两两垂直的直线作为坐标轴,分别是x,y,z轴,再选定某个长度作为单位长度,就建立了空间直角坐标系. (2)空间中一点P的坐标 空间中一点P的坐标可以用有序实数组(x,y,z)表示,记作P(x,y,z),其中x叫做点P的 横坐标 ,y叫做点P的 纵坐标 ,z叫做点P的 竖坐标 . 建立了空间直角坐标系后,空间中的点P与有序实数组(x,y,z)可建立 一一对应 的关系.,4.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使 a=b . (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组x,y,使得p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c 不共面 ,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z,使得 p=xa+yb+zc . 我们把a,b,c叫做空间的一个 基底 ,a,b,c都叫做 基向量 .,7.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化化归思想、函数与方程思想.,2.在空间四点O,A,B,C中,若OA,OB,OC是空间的一个基向量,则下列命题中不正确的是( ) A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点不共面 D.O,A,B,C四点中任三点不共线 2.B 【解析】由基向量的概念可得O,A,B,C四点不共面.,典例1 在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是 ( ) 点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z);点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z);点P关于y轴对称 点的坐标是P3(x,-y,z);点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z). A.3 B.2 C.1 D.0 【解题思路】P关于x轴的对称点为P1(x,-y,-z);关于yOz平面的对称点为P2(-x,y,z);关于y轴的对称点为 P3(-x,y,-z);点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z).故错误. 【参考答案】 C,典例2 已知i=(2,0,3),j=(1,0,4),则k=(0,0,2015)可以表示为 ( ) A.403j-806i B.403j+806i C.806j-403i D.806j+403i,【参考答案】 C,典例3 (2016惠州期末考试)若a=(2x,1,3),b=(1,3,9),如果a与b为共线向量,则 ( ),典例4 (2014成都校级月考)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,0,),若a,b,c三个向量共面, 则实数= ( ) A.8 B.10 C.11 D.12,典例5 (2015云南一模)已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且ab=2,则x的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解题思路】由已知中a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且ab=2,由空间向量数量积运算的坐标表达公式, 易构造一个关于x的方程,解方程即可得到答案.a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),ab=-3+2x-5=2,解得x=5. 【参考答案】 C,【针对训练】 如图,在空间四面体A-BCD中,下列各式成立的是( ),
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