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7.3 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题,考纲要求:1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 .我们把直线画成虚线以表示区域不包括 边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括 边界直线,则把边界直线画成实线 . (2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号 即可判断Ax+By+C0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. (3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域: 对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方 ; 当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方 .,2,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)不等式x+y-10表示的平面区域一定在直线x+y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0. ( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( ),2,3,4,1,5,2.下列各点中,不在x+y-10表示的平面区域内的是( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3),答案,解析,2,3,4,1,5,3.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是( ) A.m1 B.m1 C.m1,答案,解析,2,3,4,1,5,4.不等式组 表示的平面区域是( ),答案,解析,2,3,4,1,5,5.(2015课标全国,文14)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 。,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.避免画平面区域失误的方法是:使二元一次不等式x的系数为正.当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域. 2.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. 3.求线性目标函数z=ax+by(ab0)的最值,当b0,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴上截距最小时,z值最小;当b0时,则相反.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1二元一次不等式(组)表示平面区域 例1(1)不等式组 所表示的平面区域的面积等于( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域? 解题心得:确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法: (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域. (2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( ) A.-5 B.1 C.2 D.3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2求目标函数的最值(多维探究) 类型一 求线性目标函数的最值 例2(2015课标全国,文15)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最大值为_. 思考:怎样利用可行域求线性目标函数的最值?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型二 已知目标函数的最值求参数的取值 例3设x,y满足约束条件 且z=x+ay的最小值为7,则a=( B ) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 思考:如何利用可行域及最优解求参数及其范围?,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解析:当a=0时显然不满足题意. 当a1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型三 求非线性目标函数的最值 例4若x,y满足约束条件 的最大值为 .,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何利用可行域求非线性目标函数最值? 解题心得:1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法:(1)若限制条件中含参数,依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值. 3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)设x,y满足约束条件 则z=x+2y的最大值为( ) A.8 B.7 C.2 D.1,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015福建,文10)变量x,y满足约束条件 若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组 所表 示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(4)(2015郑州质检)设实数x,y满足不等式组 则x2+y2的取值范围是(B),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3线性规划的实际应用 例5(2015陕西,文11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元,答案:D,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求解线性规划的实际问题要注意什么? 解题心得:求解线性规划的实际问题要注意两点: (1)设出未知数x,y并写出问题中的约束条件和目标函数,注意约束条件中是否取等号; (2)判断所设未知数x,y的取值范围,分析x,y是否为整数、非负数等.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名游客出行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.,
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