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7.2 基本不等式及其应用,考纲要求:1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 (简记:和定积最大).,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2.若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是 ( ),答案,解析,2,3,4,1,5,3.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lg alg b的最大值是( ) A.0 B.1 C.2 D.,答案,解析,2,3,4,1,5,4.当x1时,不等式 恒成立,则实数a的最大值为 .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.做一个体积为32 m3,高为2 m的长方体纸盒,若要想用纸最少,底面的长与宽分别为 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”.忽略某个条件,就会出错. 2.对于公式 ,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1利用基本不等式求最值 例1(1)已知x0,y0,且x+y=1,则 的最小值是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)设a,b0,a+b=5,则 的最大值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何应用基本不等式求最值? 解题心得:应用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)(2015南昌模拟)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2利用基本不等式证明不等式,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何利用基本不等式证明不等式? 解题心得:1.利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是:利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性. 2.用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件.对待证明的不等式作适当变形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证明.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 已知a0,b0,a+b=1,求证:,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3基本不等式的实际应用 例3某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3- (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么? 解题心得:1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.(2)条件变形,进行“1”的代换、添项、拆项、分离常数、平方、换元、整体代换等手段使之能运用基本不等式. 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”,忽视哪一个都可能致误. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.,
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