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第七章 不等式,7.1 不等关系与不等式,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.两个实数比较大小的方法,知识梳理,1,答案,2.不等式的基本性质,ba,ac,acbc,acbc,acbc,答案,acbd,anbn,acbd,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)abac2bc2.( ),思考辨析,答案,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,由不等式的性质可推出恒成立. 答案 ,解析 令x2，y3，a3，b2， 符合题设条件xy，ab. ax3(2)5，by2(3)5， axby.因此不恒成立. 又ax6，by6，axby.因此也不恒成立.,1,2,3,4,5,2.下列四个结论，正确的是_. ab，cbd； ab0，cbd；,1,2,3,4,5,答案,3.若a，bR，若a|b|0 a3b30 a2b2|b|， 当b0时，ab0成立， 当b0时，ab0成立，ab0成立.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,MN,解析答案,1,2,3,4,5,解析 0ab且ab1，,解析答案,1,2,3,4,5,a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)， 又2b10，b10，a2b2b0， a2b2b，,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是_.,解析 cb44aa2(a2)20，cb. 又bc64a3a2，2b22a2，ba21，,ba，cba.,cba,题型一 比较两个数(式)的大小,解析答案,解析答案,思维升华,所以bc.即cba.,解析答案,思维升华,易知当xe时，函数f(x)单调递减. 因为ef(4)f(5)， 即cba. 答案 cba,思维升华,思维升华,比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论. (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.,跟踪训练1,解析答案,解析答案,则有xR时，mn恒成立.,答案 mn,(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_.,18160,16180，18161618.即ab.,ab,解析答案,解析 由c0. 由bc得abac一定成立.,例2 已知a，b，c满足cac c(ba)0,题型二 不等式的性质,解析答案,思维升华,思维升华,解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.,跟踪训练2,解析答案,解析 方法一 a0b，c0， ad0ba，ab0， cd0， a(c)(b)(d)，,解析答案,故正确. cd， ab，a(c)b(d)， acbd，故正确. ab，dc0，a(dc)b(dc)， 故正确. 方法二 取特殊值. 答案 3,题型三 不等式性质的应用,解析答案,思维升华,解析 方法一 由ab0可得a2b2，成立； 由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数， f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；,解析答案,思维升华,答案 ,若a3，b2，则a3b335,2a2b36， a3b3b2，2a2b1，,思维升华,思维升华,(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.,(1)若ab0，则下列不等式一定成立的是_.,解析 (特值法)取a2，b1，逐个检验，可知，均不正确；,跟踪训练3,|a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立.,解析答案,(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：,其中所有正确结论的序号是_.,解析答案,构造函数yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确. 答案 ,返回,易错警示系列,典例 设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.,易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大.,易错警示系列,7.不等式变形中扩大变量范围致误,温馨提醒,解析答案,返回,易错分析,解析 方法一 设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)， 则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，,f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10， 即5f(2)10.,温馨提醒,解析答案,f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,温馨提醒,解析答案,确定的平面区域如图阴影部分，,当f(2)4a2b过点B(3,1)时，,取得最大值432110，5f(2)10. 答案 5,10,温馨提醒,温馨提醒,(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围. (2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.,返回,思想方法 感悟提高,方法与技巧,3.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一.比差法的主要步骤：作差变形判断正负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商. 4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.,方法与技巧,1.abacbc或abacbc，当c0时不成立.,3.abanbn对于正数a、b才成立.,5.注意不等式性质中“”与“”的区别，如：,6.比商法比较大小时，要注意两式的符号.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 取特殊值法，由xyz1， 可取x4，y3，z2，分别代入,解析答案,AB,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的_条件 解析 由(ab)a20a0且ab， 充分性成立； 由abab0，当0ab时 (ab)a20，必要性不成立,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,充分不必要,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_.,解析 MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21 a1(a21)(a21) (a11)(a21)， 又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，即MN0.MN.,MN,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 方法一 y2x22c(ab)0，yx. 同理，zy，zyx. 方法二 令a3，b2，c1，则,zyx,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 ab0，bcad0，,ab0，正确.故都正确.,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.设x0，xy0， (x2y2)(xy)(x2y2)(xy).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,t甲t乙，当且仅当v1v2时“”成立. 由实际情况知v1v2，t甲t乙.乙先到教室.,解 设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 当c0时，可知不正确； 当cb3且ab0且b0，,当a0且b0时，可知不正确.,答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.若存在实数xx0，使得不等式axa1不成立，则实数a的取值范围是_.,解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x，有axa1恒成立，,则a0；当x1时，则aR.因此对任意的x，a0，再对a的取值进行否定，可得实数a的取值范围为a0.,(，0)(0，),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解得x20，y73. x不是整数，20x21. 93xy94.,(93,94),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,AB(1a2)(1a2)2a20，AB.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,综上所述，CABD.,答案 CABD,15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.,解析答案,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,当n5时，y1y2；当n5时，y1y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
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