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第七章 不等式,7.1 不等关系与一元二次不等式,考纲要求:1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 4.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 5.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.,1.两个实数比较大小的方法,2.不等式的性质 (1)对称性:abbb,bcac . (3)可加性:aba+c b+c;ab,cda+c b+d. (4)可乘性:ab,c0ac bc;ab0,cd0ac bd. (5)可乘方:ab0an bn(nN,n1).,3.三个“二次”间的关系,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2. (2014四川,理4)若ab0,cd0,则一定有( ),答案,解析,2,3,4,1,5,3.若角,满足 ,则2-的取值范围是( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.不等式-x2-3x+40的解集为 .(用区间表示),答案,解析,2,3,4,1,5,5.若关于x的不等式2kx2+kx- 0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.在应用不等式性质时,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;“可乘性”中的c的符号等都需注意. 2.当判断两个式子大小时,对错误的关系式举反例即可,对正确的关系式,则需推理论证. 3.解不等式ax2+bx+c0(0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,考点1比较两个数(式)的大小 例1(1)若实数a1,则a+2与 的大小关系为 .,答案,解析,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 .,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,思考:比较两个数(式)大小常用的方法有哪些? 解题心得:比较大小常用的方法有:作差法、作商法、构造函数法. (1)作差法的一般步骤是:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式. (2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小. (3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1 (1)若 ,则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是 .,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点2不等式的性质及应用 例2(1)(2015广东汕头模拟)如果aR,且a2+aa-a2-a B.a2-aa-a2 C.-aa2a-a2 D.-aa2-a2a,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)设a,b为正实数.现有下列命题: 若a2-b2=1,则a-b1; 若|a3-b3|=1,则|a-b|1. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号),答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,思考:判断多个不等式是否成立常用方法有哪些? 解题心得:判断多个不等式是否成立的常用方法有:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊值法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2 (1)(2015陕西铜川模拟)已知aabab2 B.ab2aba C.abaab2 D.abab2a,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)(2015西宁二模)已知a,b,cR,那么下列命题中正确的是( ),答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点3一元二次不等式的解法 例3求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-30; (2)ax2-(a+1)x+10.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,思考:如何解含参数的一元二次不等式? 解题心得:1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,最后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3 (1)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)0的解集是( ),答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解关于x的不等式:ax2-22x-ax(aR).,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,考点4一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 类型一 已知x的范围求参数的范围 例4设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围; (2)若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围. 思考:已知一元二次不等式在给定区间上恒成立,求参数范围的解题思路有哪些?,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,类型二 已知参数范围求x的范围 例5(2015江西新余模拟)对任意a-1,1,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求x的取值范围.,答案,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,思考:已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是什么? 解题心得:1.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理. 2.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一种新的函数,然后利用新函数求解.确定主元的原则是:知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4 (1)若关于x的不等式ax2+2x+20在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)已知函数 ,若对任意x1,+),f(x)0恒成立,则实数a的取值范围为 .,答案,解析,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,1.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一. 3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础. 4.在解含有参数的不等式时,分类讨论的划分一定要明确,先进行大的分类,在每大类中再进行小的分类,注意分类要做到不重不漏.,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,1.不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时,要弄清这个数是正数还是负数,以便确定不等式是否改变方向. 2.解不等式ax2+bx+c0时,要考虑a=0的情形. 3.当0(a0)的解集是R还是与a的正负有关,要注意区分.,知识方法,易错易混,
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