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1.2 命题及其关系、充要条件,考纲要求:1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.,1.命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系,(2)四种命题的真假关系 互为逆否的两个命题等价 (同真 或同假 ). 互逆或互否的两个命题不等价 . 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,4.常用结论 (1)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0或2或4. (2)p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他情况依此类推. (3)集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件AB;p是q的必要不充分条件AB;p是q的充要条件A=B.,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)数学中的命题都可以判断真假. ( ) (2)命题“若x2-3x+20,则x2或x1”的逆否命题是“若1x2,则x2-3x+20”. ( ) (3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同. ( ),1,2,3,4,5,2. “x=1”是“x2-2x+1=0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015陕西渭南模拟)对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列叙述正确的是( ) A.逆命题“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.命题的否定“存在单调函数是周期函数”,答案,解析,1,2,3,4,5,4.“sin =sin ”是“=”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,5.“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 条件.,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,命题的否定只否定结论. 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假. 3.“p是q的充分不必要条件”即为“pq且q p”;“p的充分不必要条件是q”即为“qp且p q”.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1命题及其相互关系 例1已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数,则m1”,则下列结论正确的是( ) A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减少的,则m1”,是真命题 B.逆命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是增加的”,是假命题 C.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减少的”,是真命题 D.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增加的”,是真命题,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:由原命题写出其他三种命题应注意什么? 解题心得:1.在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例.当一个命题直接判断不易时,可转化为判断其等价命题的真假.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (2015山东,文5)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2充分条件、必要条件的判断 例2(1)(2015合肥模拟)“a1”是“函数f(x)=x3+a在R上为单调递增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)给定两个命题p,q.若p是q的必要而不充分条件,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:充分条件、必要条件的判断有哪几种方法? 解题心得:充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据pq,qp进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (2015浙江,文3)设a,b是实数,则“a+b0”是“ab0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3充分条件、必要条件的应用 例3(1)函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A.a0或a1 B.0a C. a1 D.a0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)设条件p:2x2-3x+10,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个论断是另一个论断的充要条件? 解题心得:1.与充要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)若集合A=x|x2-x-2-2 B.a-2 C.a-1 D.a-1,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)若“x21”是“xa”的必要不充分条件,则a的最大值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定. 2.充要关系的几种判断方法: (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)等价法:利用AB与BA;BA与AB;AB与BA的等价关系.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)集合间关系法:设A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的关系来判断.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.当一个命题有大前提时,要写出其他三种命题,必须保留大前提,也就是大前提不动. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,思想方法等价转化思想在充要条件中的应用 等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可解”的求解策略,本节内容蕴含着丰富的等价转化思想,对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一个解题思路.因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是等价转化的前提,同时也是灵活解题的基础.,典例已知p: 2,q:x2-2x+1-m20(m0),且p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. 分析:先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q间的关系列出关于m的不等式或不等式组得出结论. 解:(方法一)由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 则q:A=x|x1+m或x0. 由 2, 解得-2x10, 所以p:B=x|x10或x-2. 因为p是q的必要而不充分条件, 则AB,(方法二)因为p是q的必要而不充分条件, 所以p是q的充分而不必要条件. 由q:x2-2x+1-m20,m0, 得1-mx1+m, 则q:Q=x|1-mx1+m,m0. 由 2, 解得-2x10,所以p:P=x|-2x10. 因为p是q的充分而不必要条件,则PQ, 即m9或m9.故m9.,
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