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第一章 集合与常用逻辑用语,1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,思想与方法系列,基础知识 自主学习,1.四种命题及相互关系,若q ，则p,若 q ，则 p,若 p，则 q,知识梳理,1,答案,2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.,相同,答案,充分,必要,充分不必要,充要,必要不充分,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“x22x30”是命题.( ) (2)命题“ ，则tan 1”的否命题是“若 ，则tan 1”.( ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( ) (6)若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件.( ),答案,思考辨析,1.(2015山东改编)若mR, 命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_. 解析 原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若q，则 p”. 所求命题为“若方程x2xm0没有实根，则m0”.,若方程x2xm0没有实根，则m0,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知命题p：若x1，则向量a(1，x)与b(x2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_. 解析 向量a，b共线xx(x2)0x0或x1， 命题p为真，其逆命题为假， 故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.,2,解析答案,1,2,3,4,5,3.记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_. 解析 不等式x2x60的解集为A(3,2)， 函数ylg(xa)的定义域为B(a，). 由“xA”是“xB”的充分条件， 得实数a的取值范围为(，3.,(，3,解析答案,1,2,3,4,5,解析 当1a0，1b0时，,既不充分也不必要,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)下列命题： x2是x24x40的必要不充分条件； 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； sin sin 是的充要条件； ab0是a0的充分不必要条件. 其中为真命题的是_(填序号).,答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数“的逆否命题是_. 解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”， “xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”， 故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”.,题型一 命题及其关系,若xy不是偶数，则x与y不都是偶数,解析答案,(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是_.(填序号) 真，假，真 假，假，真 真，真，假 假，假，假 解析 先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时， 设z1abi(a，bR)， 则z2abi，则|z1|z2| 原命题为真，故其逆否命题为真； 再证其逆命题为假：取z11，z2i，满足|z1|z2|， 但是z1，z2不互为共轭复数， 其逆命题为假，故其否命题也为假.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： 对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写； 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.,跟踪训练1,解析答案,(2)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是_ _. 解析 “若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2b20”.,若a0或b0，,则a2b20,解析答案,题型二 充分必要条件的判定,例2 (1)(2015四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的_条件. 解析 根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断. 3a3b3， ab1，此时loga33b3，,故“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件.,充分不必要,解析答案,解析 若a0，b0，,则ab0，不一定有a0，b0.,充分不必要,解析答案,思维升华,思维升华,充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的某种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的某种条件.,(1)(2015陕西)“sin cos ”是“cos 20”的_条件. 解析 sin cos cos 2cos2sin20； cos 20cos sin sin cos .,充分不必要,跟踪训练2,解析答案,所以p是q的充分条件； 若函数f(x)sin(x)(0)是偶函数，则sin 1，,所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件.,充要,解析答案,题型三 充分必要条件的应用,例3 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求m的取值范围. 解 由x28x200，得2x10， Px|2x10， 由xP是xS的必要条件，知SP.,当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3.,解析答案,1.本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件. 解 若xP是xS的充要条件，则PS，,即不存在实数m，使xP是xS的充要条件.,解析答案,引申探究,2.本例条件不变，若xP是xS的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解 由例题知Px|2x10， P是S的必要不充分条件，,2,101m,1m.,m9，即m的取值范围是9，).,解析答案,思维升华,思维升华,充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.,(1)方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是_.,跟踪训练3,解析答案,解析 当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根. 当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是44a0， 即a1. 设此时方程的两根分别为x1，x2，,解析答案,综上所述，a1. 答案 a1,(2)已知条件p：2x23x10，条件q：x2(2a1)xa(a1)0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.,p对应的集合Ax|x1或xa1或xa. p是q的必要不充分条件，,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 (1)已知p：(a1)21，q：xR，ax2ax10，则p是q成立的_条件. 解析 由(a1)21解得0a2， p：0a2. 当a0时，ax2ax10对xR恒成立；,q：0a4. p是q成立的充分不必要条件.,充分不必要,思想与方法系列,1.等价转化思想在充要条件中的应用,解析答案,(2)已知条件p：x22x30；条件q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是_. 解析 由x22x30，得x1， 由q的一个充分不必要条件是p， 可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. x|xax|x1， a1.,1，),解析答案,返回,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)本题用到的等价转化 将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系. 将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，经常被用到.,思想方法 感悟提高,1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用AB与BA；BA与AB；AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件.,方法与技巧,1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“_ _”. 解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.,15,16,17,18,若一个数的,平方是正数，则它是负数,解析答案,2.(2015天津改编)设xR，则“1x2”是“|x2|1”的_条件. 解析 由|x2|1得1x3， 所以1x21x3；,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,3.给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是_. 解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”， 显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,其中等号成立的充要条件是ab， 因此ab是abxy的充要条件.,充要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,5.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的_条件. 解析 因为菱形的对角线互相垂直， 所以“四边形ABCD为菱形”“ACBD”， 所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件； 又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形， 所以“ACBD” “四边形ABCD为菱形”， 所以“四边形ABCD为菱形”不是“ACBD”的必要条件. 综上，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,令f(x)2xsin 2x. f(x)22cos 2x0，,必要不充分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,7. “a5且b5”是“ab0”的_条件. 解析 “a5且b5”推不出“ab0”， 例如a2，b2时，ab0； “ab0”推不出“a5且b5”， 例如a5，b6. 故“a5且b5”是“ab0”的既不充分也不必要条件.,既不充分也不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 因为函数f(x)过点(1,0)， 所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点 函数y2x(x0)与直线ya无公共点. 由数形结合，可得a0或a1.,a0或a1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,9.“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_. 解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,10.若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_. 解析 由已知易得x|x22x30x|xm1， 又x|x22x30x|x3，,0,2,0m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,11.给定两个命题p、q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的_条件. 解析 若p是q的必要不充分条件， 则qp但p q，其逆否命题为pq但q p， 所以p是q的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,12.下列命题： 若ac2bc2，则ab； 若sin sin ，则； “实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件； 若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 对于，ac2bc2，c20，ab正确； 对于，sin 30sin 150 30150， 所以错误； 对于，l1l2A1B2A2B1， 即2a4aa0且A1C2A2C1， 所以正确； 显然正确. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,13.给出下列三个命题： “ab”是“3a3b”的充分不必要条件； “”是“cos b”是“3a3b”的充要条件，错误； “”是“cos cos ”的既不充分也不必要条件，错误； “a0”是“函数f(x)x3ax2 (xR)为奇函数”的充要条件，正确. 故正确命题的序号为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,解析 若p成立，设a1，a2，an的公比为q，,(a1a2a2a3an1an)2(a1a2)2(1q2q2n4)2， 故q成立，故p是q的充分条件. 取a1a2an0，,则q成立，而p不成立， 故p不是q的必要条件. 即p是q的充分不必要条件. 答案 充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,15.如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数，那么“xy”是“|xy|1成立”的_条件. 解析 若xy，则|xy|1； 反之，若|xy|1，如取x1.1，y0.9，则xy， 即“xy”是“|xy|1成立”的充分不必要条件.,充分不必要,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,(2，),xB成立的一个充分不必要条件是xA， AB， m13， 即m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,充分不必要,17.设a，b为正数，则“ab1”是“a2b21”的_条件. 解析 ab1，即ab1. 又a，b为正数， a2(b1)2b212bb21， 即a2b21成立，,所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,18.下列结论正确的是_. “0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件； 若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析答案,返回,解析 由0可以推出a0， 但是由a0不一定推出0成立，所以正确. 由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形， 但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角， 所以不正确. 由a2b20可以推出a，b不全为零， 反之，由a，b不全为零可以推出a2b20， 所以“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件， 而不是“a，b全不为零”的充要条件，不正确，正确. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,返回,
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