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,第一章 集合与简易逻辑,1理解命题的概念 2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,请注意 以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假的判断,1命题 用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题 2四种命题及其关系 (1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为 ；否命题为 ；逆否命题为 . (2)原命题与它的 等价；逆命题与它的 等价,判断真假,若q则p,若綈p则綈q,若綈q则綈p,逆否命题,否命题,3充分条件与必要条件 (1)若 ，则p是q的充分非必要条件 (2)若 ，则p是q的必要非充分条件 (3)若 ，则p是q的充要条件 (4)若 ，则p是q的非充分非必要条件,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)语句“2a10”是命题 (2)语句“2 0162 015”是真命题 (3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180” (4)已知集合A，B，则ABAB的充要条件是AB.,(5)p是q的充分不必要条件等价于綈q是綈p的充分不必要条件 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2(课本改编题)命题“若a0，所以方程x2xa0有实数，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2xa0有实根，则a0”，因为方程有实根，所以判别式14a0，,3“a0”是“|a|0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为|a|0a0或a0|a|0.但|a|0/a0，所以a0是|a|0的充分不必要条件故选A.,4(2014安徽理)“x0”是“ln(x1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ln(x1)0，0x11，1x0.x0是1x0的必要不充分条件，故选B.,5写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若xy0，则x，y中至少有一个为零； (2)若ab0，则a，b中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数 答案 略 解析 (1)否定形式：若xy0，则x，y都不为零 否命题：若xy0，则x，y都不为零 (2)否定形式：若ab0，则a，b都大于零 否命题：若ab0，则a，b都大于零,(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等 否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等 (4)否定形式：有理数不都能写成分数 否命题：非有理数不都能写成分数,例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 (1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若q1，则方程x22xq0有实根； (3)若x2y20，则实数x，y全为零,题型一 四种命题及其真假的判定,【解析】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等真命题 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形真命题 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等假命题 (2)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1.假命题 否命题：若q1，则方程x22xq0无实根假命题 逆否命题：若方程x22xq0无实根，则有q1.真命题,(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2y20.真命题 否命题：若x2y20，则实数x，y不全为零真命题 逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2y20.真命题 【答案】 略,探究1 (1)此类题应先把原命题改写成“若p，则q“的形式，然后再写出其他命题对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动 (2)若说明命题为真，必须证明若说明为假，只需举出一个反例即可 (3)否命题是难点，注意量词和逻辑联结词,以下命题： “若f(x)是奇函数，则f(x)也是奇函数”的逆命题； “若x，y是偶数，则xy也是偶数”的否命题； “正三角形的三个内角均为60”的否命题； “若abc3，则a2b2c23”的逆否命题 其中真命题的序号是_,思考题1,【解析】 对于，只需证明原命题为真，abc3，(abc)29. a2b2c22ab2bc2ca9，从而3(a2b2c2)9，a2b2c23成立 【答案】 ,例2 判断下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：ab，q：ab1； (2)p：ab，q：lgalgb； (3)p：ab，q：2a2b； (4)p：ab，q：a2b2.,题型二 充要条件的判定,【解析】 (1)pq，p q，p是q的充分不必要条件 (2)qp，p q，p是q的必要不充分条件 (3)pq，且qp，p是q的充要条件 (4)p q，q p，p是q的既不充分也不必要条件 【答案】 (1)充分不必要条件；(2)必要不充分条件； (3)充要条件；(4)既不充分也不必要条件,探究2 判定充要条件应注意： (1)弄清条件p和结论q分别是什么？ (2)尝试pq，qp. (3)一定要熟悉命题内容涉及到的知识,判断下列各题中p是q的什么条件？ (1)p：x22x30，q：x1或x2； (3)在ABC中，p：AB，q：sinAsinB； (4)非空集合A，B中，p：xAB，q：xB.,思考题2,【解析】 (1)p：x1或x3，pq，但q/ p，故p是q的充分不必要条件 (2)p/ q，qp，p是q的必要不充分条件 (3)在ABC中，ABsinAsinB，反之，若sinAsinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180)，所以只有AB.故p是q的充要条件 (4)显然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB，所以p是q的必要不充分条件 【答案】 (1)充分不必要条件；(2)必要不充分条件； (3)充要条件；(4)必要不充分条件,例3 已知p：2x10，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围 【解析】 方法一：由q：x22x1m20， 得1mx1m. 綈q：Ax|x1m或x0 p：2x10， 綈p：Bx|x10或x2,题型三 充分条件与必要条件的应用,綈p是綈q的必要而不充分条件， 即m9或m9.m9. 故实数m的取值范围是9，),方法二：綈p是綈q的必要而不充分条件， p是q的充分而不必要条件 由q：x22x1m20， 得1mx1m. q：Qx|1mx1m p：Px|2x10,【答案】 9，),探究3 (1)充要条件可以熔入到数学各个分支题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解 (2)本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键,思考题3,【解析】 因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1. 观察选项，根据集合间关系a|a1故选A. 【答案】 A,1命题真假的判断 (1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例 (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表 (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假,2充分、必要条件的判定方法 (1)定义法 (2)传递法 (3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则 若AB，则p是q的充分条件； 若BA，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充要条件 (4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础,1(2014陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假 答案 B 解析 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|z2|，当z11，z21时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的故选B.,2命题“若x21或x1 D若x1或x1，则x21 答案 D 解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“1x1”的否定是“x1或x1”,3设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A,4设命题p：x2 015；命题q：x2 016，则綈p是綈q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 p：x2 015；q：x2 016， 綈p：2 015x2 015，綈q：2 016x2 016. 对任意的x2 015,2 015，都有x2 016,2 016，选A.,5(2014湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 “存在集合C使得AC，BUC”“AB”故选C.,
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