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考点突破,夯基释疑,考点一,考点三,考点二,例 1,训练1,例 2,训练2,例 3,训练3,第 3 讲 导数的综合应用,概要,课堂小结,夯基释疑,考点突破,解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元， 底面的总成本为160r2元 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又根据题意得200rh160r212 000，,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,考点突破,令V(r)0，解得r5或5(因r5不在定义域内，舍去) 当r(0，5)时，V(r)0，故V(r)在(0，5)上为增函数；,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大,考点突破,规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,考点突破,解 (1)因为x5时，y11，,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,所以商场每日销售该商品所获得的利润,从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6),210(x3)(x6)2，3x6.,考点突破,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点， 也是最大值点,接上一页 ，f(x)30(x4)(x6),考点突破,考点一 利用导数解决生活中的优化问题,所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大,考点突破,考点二 利用导数证明不等式,(1)解 函数f(x)的定义域为(0，)，,由题意可得f(1)2，f(1)e. 故a1，b2.,设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.,考点突破,所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时， h(x)0. 故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，,综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.,考点二 利用导数证明不等式,考点突破,规律方法 利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路,考点二 利用导数证明不等式,考点突破,若a0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；,(2)证明 由(1)知，若a0，f(x)在(0，)上单调递增， 又f(1)0，故f(x)0不恒成立,考点二 利用导数证明不等式,考点突破,f(x)f(1)0，不合题意，,若a2，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， f(x)f(1)0符合题意 故a2，且ln xx1(当且仅当x1时取“”),考点二 利用导数证明不等式,考点突破,令f(x)0，得xe1a， 当x(0，e1a)时，f(x)0，f(x)是增函数； 当x(e1a，)时，f(x)0，f(x)是减函数 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1a， 单调递减区间为e1a，)， 极大值为f(x)极大值f(e1a)ea1，无极小值,考点三 利用导数求参数的取值范围,解 (1)函数f(x)的定义域为(0，)，,考点突破,令F(x)0，得xe2a；令F(x)0，得xe2a， 故函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数， 在区间e2a，)上是减函数 当e2a0时，函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数， 在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.,考点三 利用导数求参数的取值范围,考点突破,由图象，易知当00， 此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公 共点 当e2ae2，即a0时， F(x)在区间(0，e2上是增函数，,考点三 利用导数求参数的取值范围,考点突破,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点;,考点三 利用导数求参数的取值范围,函数 f(x) 的图象与函数 g(x) 的图象在区间(0，e2上没有公共点 综上，满足条件的实数 a 的取值范围是1，),考点突破,规律方法 函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一,考点三 利用导数求参数的取值范围,考点突破,解 由f(x)x2xsin xcos x， 得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x) (1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切， 所以f(a)a(2cos a)0，bf(a) 解得a0，bf(0)1. (2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb. 令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0. 当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,【训练3】(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值； (2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围,考点三 利用导数求参数的取值范围,考点突破,所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减， 在区间(0，)上单调递增， 且g(x)的最小值为g(0)1b. 当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根， 曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意 当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0. yg(x)在(0，2b)内存在零点， 又yg(x)在R上是偶函数， 且g(x)在(0，)上单调递增，,【训练3】(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值； (2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围,考点三 利用导数求参数的取值范围,考点突破,yg(x)在(0，)上有唯一零点， 在(，0)也有唯一零点 故当b1时，yg(x)在R上有两个零点， 则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点 综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点， 那么b的取值范围是(1，).,【训练3】(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值； (2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围,考点三 利用导数求参数的取值范围,1在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,2利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口,思想方法,课堂小结,思想方法,课堂小结,4对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决这类问题求解的通法是(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解,3利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力,实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.,易错防范,课堂小结,
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