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第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.4 二次函数与幂函数,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)_. 顶点式：f(x)_. 零点式：f(x) . (2)二次函数的图象和性质,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知识梳理,1,答案,答案,2.幂函数 (1)定义：形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)幂函数的图象比较,yx,答案,(3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 幂函数的图象过定点(1,1)； 当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .( ) (2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数.( ) (3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (4)函数 是幂函数.( ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),答案,思考辨析,即m21， 解得m1.,(，1)(1，),考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函数 的图象是_.(填序号),解析 显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数， 同时由当0x1时， 当x1时， 故只有符合.,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_. 解析 如图，由图象可知m的取值范围是1,2.,1,2,解析答案,1,2,3,4,5,(0，),答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 求二次函数的解析式,例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.,解析答案,思维升华,解 方法一 (利用一般式)： 设f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函数为f(x)4x24x7.,解析答案,思维升华,方法二 (利用顶点式)： 设f(x)a(xm)2n. f(2)f(1)，,n8，,解析答案,f(2)1，,思维升华,方法三 (利用零点式)： 由已知f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)， 即f(x)ax2ax2a1.,解得a4， 所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,思维升华,思维升华,求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，所用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解.,(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_. 解析 依题意可设f(x)a(x2)21， 又其图象过点(0,1)， 4a11，,跟踪训练1,解析答案,(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_. 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称， b2， f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 2a24， 故f(x)2x24.,2x24,解析答案,题型二 二次函数的图象与性质,命题点1 二次函数的单调性,例2 已知函数f(x)x22ax3，x4,6， (1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；,要使f(x)在4,6上为单调函数， 只需a4或a6， 解得a4或a6. 故a的取值范围是(，64，).,解析答案,(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间.,其图象如图所示. 又x4,6， f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数， 在区间1,0)和1,6上为增函数.,解析答案,命题点2 二次函数的最值,例3 已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 解析 f(x)(x1)21， 2x3(如图)，,f(x)maxf(2)8.,8,解析答案,已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.,引申探究,解析答案,解 函数yx22x(x1)21， 对称轴为直线x1， x1不一定在区间2，a内， 应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增， 则当x1时，y取得最小值，即ymin1. 综上，当21时，ymin1.,命题点3 二次函数中的恒成立问题,例4 (1)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的取值范围为_.,解析答案,(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.,解析 2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，适合；,解析答案,思维升华,思维升华,1.二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； 解 当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5， 所以当x1时，f(x)取得最小值1； 当x5时，f(x)取得最大值37.,跟踪训练2,解析答案,(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数. 解 函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa， 因为yf(x)在区间5,5上是单调函数， 所以a5或a5，即a5或a5. 故a的取值范围是(，55，).,解析答案,题型三 幂函数的图象和性质,解析 由幂函数的定义知k1.,解析答案,(2)若 则实数m的取值范围是_.,解析答案,思维升华,解2m1m2m1，得1m2，,解析 因为函数 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，,思维升华,思维升华,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,(1)已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_. 解析 函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数， m2m11， 解得m2或m1. 当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数； 当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数. m1.,1,跟踪训练3,解析答案,(2)若 则实数a的取值范围是_.,解析 易知函数 的定义域为0，)，在定义域内为增函数，,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 (14分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值. 思维点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.,思想与方法系列,3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,规范解答 解 (1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减， f(x)minf(1)2. 3分,解析答案,温馨提醒,(2)当a0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，,f(x)在0,1上递减. f(x)minf(1)a2. 10分,解析答案,温馨提醒,(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，,f(x)ax22x在0,1上递减. f(x)minf(1)a2. 13分,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.,思想方法 感悟提高,1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意： (1)结合图象分析； (2)含参数的二次函数，要进行分类讨论.,方法与技巧,3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较.,方法与技巧,1.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.如果函数f(x)x2ax3在区间(，4上单调递减，则实数a的范围是_.,8，),解析答案,2.函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是_. 解析 f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2. 又在x(0，)上是增函数， 所以m2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,3.设函数f(x)x2xa(a0)，且f(m)0，则f(m1)_0(判断大小关系).,f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)0，f(m1)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a_. 解析 函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点取得， f(0)a，f(2)43a，,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0，得30， 不等式f(10x)0可化为010x1，x0. 答案 (，0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,则f(x)2axb，f(x)x1，,6.已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_. 解析 由函数f(x)x22x(x1)21， 当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3， 即函数f(x)的值域为1,3， 当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，,3，),解得a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.当0g(x)f(x).,h(x)g(x)f(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_. 解析 由于函数f(x)的值域为1，)， 所以f(x)min1. 又f(x)(xa)2a22a4， 当xR时，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30， 解得a3或a1.,1或3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；,解 因为f(2)1， 即4a2b11，所以b2a. 因为方程f(x)0有且只有一个根， 所以b24a0. 所以4a24a0，所以a1，所以b2. 所以f(x)x22x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围.,所以所求实数k的取值范围为(，06，).,由g(x)的图象知：要满足题意，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.已知函数f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 要使f(x)0恒成立， 则函数在区间2,2上的最小值不小于0， 设f(x)的最小值为g(a).,故此时a不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,得a7，又a4，故7a4， 综上得7a2.,又4a4，故4a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函数f(x)x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则f(m)_. 解析 由已知，必有m2m3m，即m22m30， m3或m1. 当m3时，函数即f(x)x1，x6,6，f(x)在x0处无意义， 故舍去； 当m1时，函数即f(x)x3，此时x2,2，符合题意. f(m)f(1)f(1)31.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.已知幂函数f(x)x，当x1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方， 作出幂函数f(x)x在第一象限的图象， 由图象可知1时满足题意.,(，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,则图象的对称轴为直线x0， 2m0，m2， f(x)2x21，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由题意得： |f(0)|1|n|11n1；|f(1)|1|2n|13n1， 因此n1，f(0)1，f(1)1. 由f(x)的图象可知：要满足题意，,所以a2.,(，2,解析 f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x，令tsin x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,15.已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR). (1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,F(2)F(2)(21)2(21)28.,解得a1，b2， f(x)(x1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围. 解 f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，,2b0. 故b的取值范围是2,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,解析答案,
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