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第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.3 函数的奇偶性与周期性,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.函数的奇偶性,y轴,f(x)f(x),f(x)f(x),原点,知识梳理,1,答案,2.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),存在一个最小,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ) (2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.( ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称.( ) (5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数.( ) (6)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.( ),答案,思考辨析,解析 对于，f(x)exex的定义域为R，f(x)exexf(x)， 故yexex为奇函数.,y|sin x|和ycos x为偶函数.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，则f(1)f(2)f(3)f(4)_. 解析 由f(x1)是偶函数得f(x1)f(x1)， 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)， 所以f(x2)f(x)，即f(x)f(x2)0， 所以f(1)f(3)0，f(2)f(4)0， 因此f(1)f(2)f(3)f(4)0.,0,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_. 解析 由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0， 所以f(x)2|x|1， 当x0时，f(x)为增函数， log0.53log23， 所以log25|log23|0， 所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0).,cab,解析答案,1,2,3,4,5,解析 函数的周期是2，,1,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0， f(x)(x)(1x). 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)(x)(1x)， f(x)x(1x).,x(1x),解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 判断函数的奇偶性,例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x3x； 解 定义域为R，关于原点对称， 又f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)， 函数为奇函数.,解析答案,函数定义域不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数.,解析答案,解 当x0时，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2xx2x (x2x)f(x). 对于x(，0)(0，)， 均有f(x)f(x). 函数为奇函数.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：,(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.,跟踪训练1,解析答案,中，对于比较熟悉的函数f(x)x3可知不符合题意，故不正确； 中，f(x)sin x在定义域内不具有单调性，故不正确； 中，定义域关于原点不对称，故不正确,(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)分别是_(填奇偶性). 解析 F(x)，G(x)定义域均为(2,2)， 由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)， G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)， F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.,偶函数，奇函数,解析答案,题型二 函数的周期性,解析答案,解析 因为f(x)是周期为3的周期函数，,1,故函数的周期为4. f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5). 22.53，由题意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5.,2.5,解析答案,思维升华,思维升华,解析 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)， f(x)的周期T2， 又当0x时，f(x)0，,跟踪训练2,解析答案,题型三 函数性质的综合应用,命题点1 函数奇偶性的应用,例3 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)_. 解析 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.,解析答案,1,即ln(ax2x2)0， a1.,1,解析 f(x)为偶函数，,解析答案,命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合,解析 f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)，,解得1a4.,(1,4),解析答案,(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系是_.,解析答案,思维升华,解析 f(x)满足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)， 函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1). f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)， 即f(25)f(80)f(11). 答案 f(25)f(80)f(11),思维升华,思维升华,(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|).若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.,(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_. 解析 函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数， 故f(x)f(x)， 即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，,整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，,跟踪训练3,解析答案,(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.,解析答案,返回,解析 f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)0. 又当x0， f(x)x24x. 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)， f(x)x24x (x0)，,解析答案,当x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5； 当x0时，f(x)x无解； 当xx得x24xx，解得5x的解集用区间表示为(5,0)(5，). 答案 (5,0)(5，),返回,易错警示系列,易错警示系列,2.忽视定义域致误,易错分析 解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.,易错分析,解析答案,由f(x)f(x)0可得k21， k1. 答案 1,易错分析 本题易出现以下错误： 由f(1x2)f(2x)得1x22x，忽视了1x20导致解答失误.,易错分析,解析答案,返回,温馨提醒,由图象可知，若f(1x2)f(2x)，,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论.保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.弄清最终结果取并集还是交集.,思想方法 感悟提高,1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.,方法与技巧,1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验. 2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 对于，函数ylog2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数； 对于，函数ycos 2x在区间(1,2)上不是增函数；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm (m为常数)，则f(log35)的值为_. 解析 由f(x)是定义在R上的奇函数， 得f(0)1m0，解得m1， f(x)3x1. log35log310， f(log35)f(log35) 4.,4,2,3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 019)_. 解析 f(x4)f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数， f(2 019)f(50443)f(3)f(1). 又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2122， 即f(2 019)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若函数f(x)(ax1)(xa)为偶函数，且函数yf(x)在x(0，)上单调递增，则实数a的值为_. 解析 函数f(x)(ax1)(xa)ax2(1a2)xa为偶函数， f(x)f(x)， 即f(x)ax2(1a2)xaax2(1a2)xa， 1a20，解得a1. 当a1时，f(x)x21，在x(0，)上单调递增，满足条件. 当a1时，f(x)x21，在x(0，)上单调递减，不满足条件. 故a1.,1,5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是_. 解析 f(x)是奇函数， 当xf(a)，得2a2a， 解得2a1.,(2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(1)0，则不等式f(x2)0的解集是_. 解析 由已知可得x21或x21， 解得x3或x1， 所求解集是(，13，).,(，13，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)求实数m的值； 解 设x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x). 于是x0时，f(x)x22xx2mx， 所以m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围. 解 要使f(x)在1，a2上单调递增，,所以1a3， 故实数a的取值范围是(1,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数； 证明 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x). f(x)是周期为4的周期函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)当x2,4时，求f(x)的解析式； 解 x2,4，x4，2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)， f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016). 解 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 016)f(0)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.已知f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m2)f(2m3)0，那么实数m的取值范围是_ .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)是定义域为(1,1)的奇函数， 10可转化为f(m2)f(2m3)， f(m2)f(2m3)， f(x)是减函数， m22m3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由得a2，b4，从而a3b10.,答案 10,解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_. 解析 因为当0x2时，f(x)x3x， 又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0， 所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0， 所以f(3)f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有 2是函数f(x)的周期； 函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； 函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 在f(x1)f(x1)中，令x1t， 则有f(t2)f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故正确； 当x0,1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确； 由知f(x)在0,2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201，且f(x)是周期为2的周期函数. f(x)的最大值是2，最小值是1，故错误. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； 解 对于任意x1，x2D， 有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 解 f(x)为偶函数. 证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，,令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)， f(x)为偶函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围. 解 依题设有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数， f(x1)2f(|x1|)f(16). 又f(x)在(0，)上是增函数. 0|x1|16，解之得15x17且x1. x的取值范围是x|15x17且x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,
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