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第十一节 离散型随机变量的均值与方差,1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ,常用字母X,Y,表示. 2.离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: 称为离散型随机变量X的概率分布列.,3.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值与方差的区别,(2)均值的性质 E(k)=k(k为常数); E(aX+b)=aEX+b; E(X1+X2)=EX1+EX2; 若随机变量X服从两点分布,则EX=p; 若随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),则EX=np. (3)方差的性质 D(k)=0(k为常数); D(aX+b)=a2DX; DX=E(X2)+(EX)2; 若随机变量X服从两点分布,则DX=p(1-p); 若随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),则DX=np(1-p). 4.常用的数学方法与思想 分类讨论思想、互斥事件的概率计算公式.,1.从标有110的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有 ( ) A.17个 B.18个 C.19个 D.20个 1.A 【解析】从1到10中任取两个的和可以是3到19中的任意一个,共有17个.,2.若随机变量X的分布列为,4.某一计算机网络共有n个终端,每个终端在一天中使用的概率为p,则这个网络一天中平均使用的终端的个数为 . 4.np 【解析】这个网络一天中平均使用的终端的个数X服从二项分布,即XB(n,p),由二项分布的均值计算公式得EX=np.,典例1 (2015安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望). 【解题思路】注意精确列出X的所有可能取值,再分别求概率.,【变式训练】 (2015河南实验中学质检)2015年4月16日,河南省实验中学教职工春季竞走比赛在校田径场隆重举行,为了解高三年级男、女两组教师的比赛用时情况,体育组教师从两组教师的比赛成绩中,分别各抽取9名教师的成绩(单位:分钟),制作成下面的茎叶图,但是女子组的数据中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示,规定:比赛用时不超过19分钟时,成绩为优秀. (1)若男、女两组比赛用时的平均值相同,求a的值; (2)求女子组的平均用时高于男子组的平均用时的概率; (3)当a=3时,利用简单随机抽样的方法,分别在茎叶图两组成绩 为“非优秀”的数据中各抽取一个做代表,设抽取的两个数据中用时超过22(分钟)的个数为X,求X的分布列和数学期望.,典例2 (2015天津高考)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,【变式训练】 某校组织一次冬令营活动,有8名同学参加,其中有5名男同学,3名女同学.因为活动的需要,要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务,记其中有X名男同学. (1)列出X的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.,所以X的分布列为,【变式训练】,分类讨论在离散型随机变量的均值求解问题中的应用 当某个事件涉及多个变量时,往往要采用多个变量的组合形式作为离散型随机变量的取值,此时离散型随机变量的每个取值往往对应几类不同的事件,在求解时应该先确定每个事件所对应的每个变量的取值情况,并且求出每个事件中离散型随机变量的取值,然后合并取值相同的事件确定离散型随机变量的取值,并求出其对应的概率值.,【针对训练】 盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P; (2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望EX.,
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