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选修41 几何证明选讲,第一节 相似三角形的判定及有关性质,最新考纲展示 了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理,一、平行截割定理 1平行线等分线段定理 如果一组 在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 2平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的 成比例 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 成比例,平行线,相等,对应线段,对应线段,二、相似三角形的判定及性质 1相似三角形的判定定理 (1)两角对应 的两个三角形相似 (2)两边对应 并且夹角 的两个三角形相似 (3)三边对应 的两个三角形相似 2相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 (2)相似三角形周长的比等于 (3)相似三角形面积的比等于 ,相等,成比例,相等,成比例,相似比,相似比,相似比的平方,三、直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项 如图，在RtABC中，CD是斜边上的高， 则有CD2 ，AC2 ，BC2 .,两直角边,斜边,斜边,ADBD,ADAB,BDAB,与平行线分线段成比例定理有关的推论： 1平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 2三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 3梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 4若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行,一、平行线截割定理 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)三角形的一个内角平分线分对边所成的两线段与这个角的两边对应成比例( ) (2)三条平行线截两条直线，所得的对应线段不成比例( ) 答案：(1) (2),解析：由平行线等分线段定理可直接得到答案,二、相似三角形的判定与性质 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比( ) (2)相似三角形外接圆的直径比、周长比、面积比等于相似比( ) 答案：(1) (2),答案：9,三、直角三角形的射影定理 5.如图，C90，A30，E是AB中点，DEAB于E，则ADE与ABC的相似比是_,平行线分线段成比例定理的应用(自主探究),规律方法 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系 (2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式 (3)要注意“中间量”的运用与转化,例2 如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于点F，EM交BD于点G.,相似三角形的判定及性质的应用(师生共研),规律方法 (1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系 (2)注意辅助线的添加，多数作平行线 (3)相似三角形的性质应用可通过考查与相似三角形相关的元素来体现，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等,1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点 ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F. (1)求证：ACBDCE； (2)求证：EFAB.,例3 如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明： (1)ABACBCAD； (2)AD3BCCFBE.,射影定理的应用(师生共研),规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式” (2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法,
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