资源描述
,选考部分 选修系列4,1会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 2会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理 3了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截面是椭圆(特殊情形是圆),请注意 此部分为选考重点，广东、全国卷等省多年均有考查,1圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_ 2圆心角定理 圆心角的度数等于_的度数 推论1：同弧或等弧所对的_相等；同圆或等圆中相等的圆周角对的_也相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角对的弦是直径,一半,它所对的弧,圆周角,弧,3圆内接四边形性质定理 _互补外角等于它的_ 判定定理：如果一个四边形的_互补，那么这个四边形四个顶点共圆 推论：如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形四个顶点共圆,对角,内对角,对角,内对角,4圆的切线 (1)切线判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)切线性质定理：圆的切线_于经过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过_ (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧对的圆周角,垂直,圆心,5与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的_相等 (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等 (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的_ (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分_,积,积,比例中项,两切线夹角,答案 A,3(2014湖北理) 如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD 3，则PB_. 答案 4 解析 由题意知PAPB.PA切O于点A. 由切割线定理可得QA2QCQD1(13)4. QA2，PA224PB.,4.如右图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC_. 答案 30 解析 由弦切角定理，可知DCAB60.又ADl，故DAC30.,5(2013广东理) 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_.,6.如图，AE是圆的切线，A是切点，ADOE于点D，割线EC交圆于B，C两点 (1)证明：O，D，B，C四点共圆； (2)设DBC50，ODC30，求OEC的大小 答案 (1)略 (2)20,(2)连接OB.因为OECOCBCOE180，结合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCODC20.,例1 已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆，A80，那么BOC_，BIC_.,题型一 圆周角与圆心角,【答案】 160，130 探究1 (1)圆周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆周角相等的结论很难用其他结论代替由圆周角定理易知，同一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍 (2)三角形的内心是内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点,(1)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于_ 【解析】 连接AO，OB，因为ACB30，所以AOB60，AOB为等边三角形故圆O的半径rOAAB4，圆O的面积Sr216. 【答案】 16,思考题1,(2)如图，已知直线AB交O于A，B两点，点M在圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，AMB35，设APBx，当点P移动时，x的变化范围是_,【解析】 因为P在O外，设AP与O交于点E，连接BE，如图，则AEBAMB35.又AEBAPB，所以APB0，所以0x35. 【答案】 0x35,例2 如图，BD是O的直径，E是O上的一点，直线CE交BD的延长线于A点，BCAE于C点，且CBEDBE. 求证：AC是O的切线,题型二 圆的切线,【证明】 连接OE，由OEOB，得OEBOBE. CBEDBE，CBEOEB. OEBC.又BCAE，OEAC. AC是O的切线 【答案】 略,探究2 (1)过切点的半径是一条重要的辅助线，凡涉及切线的问题都要注意应用，简称“见切点，连半径” (2)当两圆相切时，过切点的公切线是重要辅助线，注意应用,如图，已知圆上的弧AB，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)ACEBCD； (2)BC2BECD.,思考题2,【答案】 略,例3 (1)如图，ABC是直角三角形，ABC90.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M. 求证：O，B，D，E四点共圆； 求证：2DE2DMACDMAB.,题型三 圆内接四边形与四点共圆,【证明】 连接BE，则BEEC. 又D是BC的中点， DEBD. 又OEOB，ODOD， ODEODB. OBDOED90. O，B，D，E四点共圆,【答案】 略,(2)梯形ABCD内接于O，ADBC，过B引O的切线分别交DA，CA的延长线于E，F. 求证：AB2AEBC； 已知BC8，CD5，AF6，求EF的长,探究3 (1)证明四点共圆是高考常考题型，常见的证明方法有：定义法到定点距离相等；如果某两点在一条线段的同侧时，可证明两点对该线段的张角相等；证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等 (2)圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合,(1)如图，在梯形ABCD中，ABDC，K，M分别在AD，BC上，DAMCBK. 求证：DMACKB.,思考题3,【答案】 略,(2)如右图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 证明：A，P，O，M四点共圆； 求OAMAPM的大小,【解析】 连接OP，OM， 因为AP与O相切于点P，所以OPAP. 因为M是O中弦BC的中点，所以OMBC. 于是OPAOMA180，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆,由，得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM. 由，得OPAP. 由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90. 【答案】 略 90,例4 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： (1)BEEC； (2)ADDE2PB2.,题型四 与圆有关的比例线段,(2)由切割线定理，得PA2PBPC. 因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB. 由相交弦定理，得ADDEBDDC. 所以ADDE2PB2. 【答案】 略,探究4 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的联系：从相交弦定理开始，相交弦定理可以利用相似三角形对应边成比例证明，然后使两弦的交点P从圆内移动到圆外得出割线定理，再将一条割线变为圆的切线得出切割线定理，最后两条割线都变为切线得出切线长定理，充分体现了运动变化的思想,如图所示，O1与O2相交于A，B两点，AB是O2的直径，过A点作O1的切线交O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与O1，O2交于C，D两点求证： (1)PAPDPEPC； (2)ADAE.,思考题4,【思路】 应用切割线定理、弦切角定理等知识求解 【证明】 (1)PAE，PDB分别是O2的割线， PAPEPDPB. 又PA，PCB分别是O1的切线和割线， PA2PCPB. 由得PAPDPEPC.,【答案】 (1)略 (2)略,1圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程 2圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线,3判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 4与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比值作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效,
展开阅读全文