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,选考部分 选修系列4,理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理 请注意 此部分多和圆的有关知识，结合考查,平行线,一条,平分,平分,1平行线等分线段定理 如果一组_在_直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_第三边 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_另一腰,2平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的_线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成_ 3相似三角形的判定 判定定理1：两角对应_，两三角形相似 判定定理2：两边对应_且夹角_，两三角形相似 判定定理3：三边对应_，两三角形相似,对应,比例,相等,成比例,相等,成比例,4直角三角形相似的判定 定理1：如果两个直角三角形有一个_角对应相等，那么它们相似 定理2：如果两个直角三角形的两条_边对应_，那么它们相似 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的_和一条_对应成比例，那么这两个直角三角形相似,锐,直角,成比例,斜边,直角边,5相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_比； (2)相似三角形周长的比等于_比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的_； (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于_比，外接圆的面积比等于相似比的_,相似,相似,平方,相似,平方,6直角三角形的射影定理和逆定理 (1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例_；两直角边分别是它们在斜边上_与_的比例中项 (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的_，那么这个三角形是直角三角形,中项,射影,斜边,比例中项,答案 B,答案 9,4在RtABC中，C90，CDAB于D，已知AC4，AD2，则BD的长是_ 答案 6,题型一 平行线分线成比例,【答案】 (1)略 (2)1,探究1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用,如图，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点， BE交AD于点F，则AFFD为( ) A21 B31 C41 D51,思考题1,【答案】 C,例2 (1)如图所示，在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E. 求证：AEBF2DEAF.,题型二 相似三角形的判定应用,【答案】 略,探究2 (1)证明相似三角形一般的思路： 先找两对内角对应相等； 若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例； 若无角对应相等，应要证明三边对应成比例 (2)作平行线的方法： 利用中点作出中位线可得平行关系； 利用已知线段的比例，作线段的平行线,注意：解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作辅助线，使得分散的条件适当集中 (3)相似三角形性质的作用： 可用来证明线段成比例、角相等； 可间接证明线段相等； 为计算线段长度及角的大小创造条件； 可计算周长、特征线段长等,(1)如右图，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点， 且APPB13，PQPC，则PQ的长为( ),思考题2,【答案】 B,(2)如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB9，则BM_.,【答案】 3,题型三 直角三角形射影定理的应用,方法二：设ABBC4a，由题意，AEa， OAOB2a，ED3a.OE2a2(2a)25a2， OC2OB2BC2(2a)2(4a)220a2， EC2ED2CD2(3a)2(4a)225a2. OE2OC2EC2. EOC是直角三角形 又OKEC，OK2KEKC. 【答案】 略,(2)如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：AD3BCBECF.,【证明】 在RtABC中，因为ADBC， 所以AD2BDDC，且ADBCABAC. 在RtABD和RtADC中， 因为DEAB，DFAC， 由射影定理，得BD2BEBA，DC2CFAC. 所以BD2DC2BEBACFAC BECFADBCAD4. 所以AD3BCBECF. 【答案】 略,探究3 (1)应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高 (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量 (3)利用直角三角形的射影定理可证明有关命题,如图，AC为O的直径，BDAC于P，PC2，PA8，则CD的长为_，cosACB_.,思考题3,1相似三角形的判定定理的选择 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理1,2； (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2,3； (3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直三角形的方法来判定，如不能再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定,2关于直角三角形射影定理 (1)射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高，二者缺一不可 (2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问题,
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