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第七节 数学归纳法,最新考纲展示 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1(归纳奠基)证明当n取_时命题成立 2(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,第一个值n0(n0N*),nk1,1数学归纳法的框图表示： 2数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据 3在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值,解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3. 答案：C,解析：根据数学归纳法的步骤可知，则nk(k2为偶数)下一个偶数为k2，故选B. 答案：B,解析：项数为n2(n1)n2n1. 答案：D,例1 已知等差数列an的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列bn的公比为2，且a1b12. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*) 解析 (1)由a12，公差d3， ana1(n1)d3n1. 在等比数列bn中，公比q2，首项b12， bn22n12n.,用数学归纳法证明等式(师生共研),(2)证明：当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立； 假设当nk时等式成立， 即Tk122ak10bk， 当nk1时， Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1 ak1b1q(akb1ak1b2a1bk) ak1b1qTk ak1b1q(2ak10bk12) 2ak14(ak13)10bk124 2ak110bk112， 即Tk1122ak110bk1. 因此nk1时等式也成立 由、可知，对任意nN*，Tn122an10bn成立,规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少 (2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程,1求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*) 证明：(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立 (2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1) 当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2) 2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1) 22k135(2k1)(2k1) 2k1135(2k1)(2k1) 这就是说当nk1时，等式成立 根据(1)、(2)知，对nN*，原等式成立,用数学归纳法证明不等式(师生共研),规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化,2若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.,归纳猜想证明(师生共研),规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性,解析：f (x)x21，an1f (an1)， an1(an1)21. 函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221， 进而得a3(a21)21241231， 由此猜想：an2n1. 下面用数学归纳法证明这个猜想：,
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