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最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系,第3讲 等比数列及其前n项和,1等比数列的定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q(q0)表示.,知 识 梳 理,2,同一个,公比,q,2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an_； 通项公式的推广：anamqnm.,a1qn1,3等比数列及前n项和的性质 (1)如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_. (2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，n N*)，则akal_ (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_ (4)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn， S3nS2n仍成等比数列，其公比为_,a，G，b,G2ab,aman,qm,qn,诊 断 自 测,2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于 ( ) A7 B5 C5 D7,答案 D,3(2014大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6 ( ) A31 B32 C63 D64 解析 由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.故选C. 答案 C,4(2014广东卷)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_ 解析 由等比数列的性质可知，a10a11a9a122e5，所以a10a11e5，于是ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550. 答案 50,5(人教A必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_ 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 2439q3，q327，q3. 所以插入的两个数分别为9327，27381. 答案 27，81,考点一 等比数列中基本量的求解 【例1】 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于 ( ),答案 (1)B (2)2n3 (3)6 规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解,【训练1】 在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和,考点二 等比数列的性质及应用 【例2】 (1)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10 ( ) A4 B5 C6 D7,规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用,答案 (1)C (2)A,考点三 等比数列的判定与证明 【例3】 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列bn的通项公式,深度思考 若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列an1,(1)证明 anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11， 2an1an1， 2(an11)an1，,【训练3】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列bn中的b3，b4，b5. (1)求数列bn的通项公式；,(1)解 设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，依题意，得adaad15，解得a5. 所以bn中的b3，b4，b5依次为7d，10，18d. 依题意，有(7d)(18d)100， 解得d2或d13(舍去) 故bn的第3项为5，公比为2，,易错防范 1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误 4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立.,
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