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最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系,第2讲 等差数列及其前n项和,1等差数列的定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示 数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数),知 识 梳 理,2,同一个常数,公差,2等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_ 通项公式的推广：anam_(m，nN*) (2)等差数列的前n项和公式,a1(n1)d,(nm)d,3等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且 A_ (2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*) (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m， (k，mN*)是公差为_的等差数列 (4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (5)S2n1(2n1)an. 若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项),md,4等差数列的前n项和公式与函数的关系 数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数) 5等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值；若a10，d0，则Sn存在最_值,大,小,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2. ( ) (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的 ( ) (4)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列. ( ),诊 断 自 测,2(2014福建卷)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于 ( ) A8 B10 C12 D14,答案 C,3(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m ( ) A3 B4 C5 D6,答案 C,4(2014北京卷)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大 解析 因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.当n8时，其前n项和最大 答案 8,5(人教A必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_ 解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案 180,考点一 等差数列的性质及基本量的求解 【例1】 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a7 2，则a9 ( ) A6 B4 C2 D2 解析 法一 (常规解法)：设公差为d，则8a128d4a18d，即a15d，a7a16d5d6dd2，所以a9a72d6. 法二 (结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3， 所以a60，又a72，所以a84，a96. 答案 A,(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336. 求d及Sn； 求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65. 解 由题意知(2a1d)(3a13d)36， 将a11代入上式解得d2或d5. 因为d0，所以d2.从而an2n1，Snn2(nN*) 由得amam1am2amk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.,规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷,【训练1】 (1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于 ( ) A0 B37 C100 D37 (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ( ) A13 B12 C11 D10 (3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_,解析 (1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2， anbn为等差数列， 又a1b1a2b2100， anbn为常数列， a37b37100. (2)因为a1a2a334，an2an1an146， a1a2a3an2an1an34146180， 又因为a1ana2an1a3an2， 所以3(a1an)180，从而a1an60，,答案 (1)C (2)A (3)60,规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法,【训练2】 (2015西安模拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522. (1)求数列an的通项公式；,解 (1)设等差数列an的公差为d，且d0， 由等差数列的性质，得a2a5a3a422， 所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4， 故通项为an1(n1)44n3.,考点三 等差数列前n项和的最值问题 【例3】 等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5S12，则当n为何值时，Sn有最大值？,深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考,规律方法 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值,【训练3】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是 ( ) A5 B6 C7 D8 (2)(2014望江中学模拟)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为 ( ) A5 B6 C5或6 D11 (3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_,解析 (1)依题意得2a64，2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B. (2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.,(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，,又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)C (3)110,思想方法 1判断数列为等差数列的方法 (1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列 (2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列 (4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列,2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解 3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定 易错防范 1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数 2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列,3求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值,
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