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最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件,第2讲 平面向量基本定理及坐标表示,1平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2， 使a_ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,知 识 梳 理,不共线,有且只有,1e12e2,2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_， ab_，a_，|a|_. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(x2x1，y2y1),3平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_,x1y2x2y10,诊 断 自 测,2(2014北京卷)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab ( ) A(5，7) B(5，9) C(3，7) D(3，9) 解析 2ab(4，8)(1，1)(5，7) 答案 A,答案 C,4(人教A必修4P101A3改编)已知ABCD的顶点A(1， 2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_,答案 (1，5),深度思考 角平分线定理你知道吗？若知道的话可结合平面向量基本定理解决；若不知道的话可用特殊三角形解决，不妨试试,规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决,答案 (1)D (2)B,规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,答案 (1)D (2)B,考点三 向量共线的坐标表示 【例3】 平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1) (1)若(akc)(2ba)，求实数k；,规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式： 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解,【训练3】 (1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_ (2)已知向量a(3，1)，b(1，3)，c(k，7)，若(ac)b，则k_,答案 (1)(2，4) (2)5,思想方法 1对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础 (2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组 (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式，是向量线性运算知识的延伸,2向量共线的作用 向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标表示为x1y2x2y10. 易错防范 1要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标. 2向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的,
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