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最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形,1正、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,知 识 梳 理,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin B,sin C,3实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1),上方,下方,(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2) (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值,诊 断 自 测,答案 D,3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 ( ),答案 A,5(人教A必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ 答案 等腰三角形或直角三角形,考点一 正、余弦定理的简单运用 【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.,深度思考 已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！,规律方法 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制,【训练1】 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是 ( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形,规律方法 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等,【训练2】 (2014重庆卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.,规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解,【训练3】 (2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.,答案 150,微型专题 解三角形中的向量法 解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等,【例4】 已知ABC顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则sin A的值为_ 点拨 先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可,点评 本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果.,易错防范 1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解) 2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错,
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