资源描述
第3讲 导数的综合应用,考试要求 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，解决与之有关的方程(不等式)问题，B级要求；2.利用导数解决某些简单的实际问题，B级要求,知 识 梳 理 1生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点,2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,3不等式的证明与不等式恒成立问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题 (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题,诊 断 自 测 1思考辨析(请在括号中打“”或“”) (1)连续函数在闭区间上必有最值 ( ),2. 如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，底宽应为_m.,3设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_,答案 f(a)f(b),5(苏教版选修22P35例1改编)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3. 答案 144,考点一 利用导数解决不等式问题,规律方法 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错,考点二 导数在方程(函数零点)中的应用,规律方法 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的单调性、极值、最值等性质 (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合建立所含参数的方程(或不等式)来解决,【训练2】 (2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值； (2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围 解 由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x) (1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a) 解得a0，bf(0)1.,(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb. 令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得x0. 当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表： 所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)1b. 当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意,当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0. yg(x)在(0,2b)内存在零点， 又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，)上单调递增， yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点， 则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点 综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，),考点三 导数与生活中的优化问题 【例3】 (2014苏、锡、常、镇模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大,规律方法 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)，并注意定义域； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0， 求f(x)的零点； (3)研究f(x)的单调性，最值； (4)回归实际问题作答,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值， 且最大值等于42. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,思想方法 1利用导数研究含参数的函数的零点或方程根的情况，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用 2在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 3含参不等式恒成立问题，一般是分离参数转化为函数最值问题,易错防范 1. 若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到 2实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释,
展开阅读全文