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第八节 函数与方程,最新考纲展示 1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解,一、函数的零点 方程的实数解与函数的零点 1零点的定义 函数yf(x)的图象与 的交点的 称为这个函数的零点 2函数零点的判定 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 ，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解,横轴,横坐标,f(a)f(b)0,二、二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,三、二分法 1二分法的含义 每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 2利用二分法求方程实数解的过程(框图表示),其中“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号“N”的含义：方程解满足要求的精度,1函数f(x)的零点是指方程f(x)0的根，也可以认为函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，但不是指交点(x，f(x)，也要把这里的“点”与几何学中的“点”区别开来，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标 2如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当f(a)f(b)0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点,4如果函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)f(b)0.例如函数f(x)x35x26x在区间1,4上有零点2和3，却有f(1)f(4)0. 5二次函数在给定区间上的零点问题的处理方略： (1)结合图象分析，对称轴与区间关系 (2)考虑判别式的取值 (3)区间端点值的符号,1函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析：易知f(x)2x3x在R上是增函数 而f(2)2260， f(1)f(0)0， 故函数f(x)在区间(1,0)上有零点，故选B. 答案：B,答案：B,解析：由f(2)f(3)0可知x0(2,3) 答案：(2,3),例1 (1)(2015年皖南八校联考)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间( ) A(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3),确定函数零点所在的区间(自主探究),答案 (1)C (2)C,规律方法 (1)对函数零点存在的判断中，必须强调： f(x)在a，b上连续 f(a)f(b)0. 在(a，b)内存在零点 这是零点存在的一个充分条件，但不必要 (2)对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号,例2 定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且不等式f(x)xf (x)在(0，)上恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为( ) A4 B3 C2 D1 解析 g(x)0即xf(x)lg|x1|，xf(x)f(x)xf (x)，由已知得xf(x)在(0，)上单调递增，又f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数且零点为3，3，0，在同一坐标系中作出函数yxf(x)和ylg|x1|的图象，易知交点有3个，故g(x)的零点个数为3.,函数零点个数的判断(师生共研),答案 B,规律方法 判断函数yf(x)零点个数的常用方法：(1)直接法：令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数 (2)零点存在性定理法：判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数 (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题,1已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1,1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是( ) A9 B10 C11 D18 解析：由F(x)0得f(x)|lg x|，所以函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数就是函数yf(x)与y|lg x|图象交点的个数作出函数图象，如图所示： 当010时，|lg x|1，所以此时函数yf(x)与y|lg x|图象无交点故函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10. 答案：B,函数零点的应用(师生共研),解析 (1)画出函数f(x)的图象如图所示， 观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.,规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,与二次函数有关的零点分布(师生共研),答案 C,规律方法 (1)解决二次函数的零点问题：可利用一元二次方程的求根公式；可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；利用二次函数的图象列不等式组 (2)二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合从判别式，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证,3关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围,
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