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最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型,第5讲 指数与指数函数,知 识 梳 理,(2)有理指数幂的运算性质：aras_，(ar)s_，(ab)r_，其中a0，b0，r，sQ.,0,没有意义,ars,ars,arbr,2指数函数的图象与性质,R,(0，),(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,诊 断 自 测,2已知函数f(x)ax(0a1)，对于下列命题： 若x0，则0f(x)1；若x1，则f(x)0； 若f(x1)f(x2)，则x1x2. 其中正确的命题 ( ) A有3个 B有2个 C有1个 D不存在 解析 结合指数函数图象可知正确 答案 A,3(2014陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是 ( ) Af(x)x3 Bf(x)3x 解析 axyaxay，满足f(xy)f(x)f(y)， 可先排除A，C，又因为f(x)为单调递增函数，故选B. 答案 B,4若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_,答案 4a,考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：,规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数,考点二 指数函数的图象及其应用 【例2】 (1)函数f(x)axb的图象如图，其中a， b为常数，则下列结论正确的是 ( ) Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0 (2)(2015衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_,解析 (1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D. (2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图 所示，由图象可知：如果|y|2x1与直 线yb没有公共点，则b应满足的条件是 b1，1 答案 (1)D (2)1，1,规律方法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解,【训练2】 (1)已知实数a，b满足等式2 014a2 015b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 (2)(2014济宁模拟)已知函数f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 ( ) Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 C2a2c D2a2c2,解析 (1)设2 014a2 015bt，如图所示， 由函数图象，可得 若t1，则有ab0；若t1，则有ab 0；若0t1，则有ab0. 故可能成立，而不可能成立,(2)作出函数f(x)|2x1|的图象，如图， abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，c0，02a1. f(a)|2a1|12a1， f(c)1，0c1. 12c2，f(c)|2c1|2c1， 又f(a)f(c)，12a2c1， 2a2c2，故选D. 答案 (1)B (2)D,考点三 指数函数的性质及其应用 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是 ( ) A1.72.51.73 B0.610.62 C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1,解析 (1)A中，函数y1.7x在R上是增函数， 250.62. C中，(0.8)11.25， 问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小,y1.25x在R上是增函数，0.11，00.93.10.93.1.,规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域 (最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可,【训练3】 设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数 (1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；,思想方法 1判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较 2比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小 3指数函数yax(a0，a1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论,4与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题 易错防范 1指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等 2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域 3形如a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式，常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后 “新元”的范围.,
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