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第3讲 函数的奇偶性与周期性,考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求,知 识 梳 理 1函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,2. 奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相 反”) (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数 是 两个偶函数的和函数、积函数是 一个奇函数，一个偶函数的积函数是 (3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0)0.,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,3周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 . 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正 周期,f(x),存在一,个最小,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数yx2，x(0，)是偶函数( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称( ) (4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数( ),答案 ,3(2014新课标全国卷改编)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，给出下列结论：f(x)g(x)是偶函数；|f(x)|g(x)是奇函数；f(x)|g(x)|是奇函数；|f(x)g(x)|是奇函数则上述结论中正确的是_(填序号),解析 依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，正确； |f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，错 答案 ,4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 015)_. 解析 f(x4)f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数， f(2 015)f(50343)f(3)f(1) 又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2122， 即f(2 015)2. 答案 2,5已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_. 解析 当x0时，则x0， f(x)(x)(1x) 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)(x)(1x)， f(x)x(1x) 答案 x(1x),规律方法 判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立,答案 (1) (2)奇 非奇非偶,规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值,考点三 函数性质的综合应用 【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 f(25)f(11)f(80)； f(80)f(11)f(25)； f(11)f(80)f(25)； f(25)f(80)f(11) 其中正确的是_(填序号) (2)(2014新课标全国卷)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.,解析 (1)f(x)满足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3) 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1) f(x)在区间0,2上是增函数， f(x)在R上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数， f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11),(2)因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，则f(1)f(41)f(3)3. 答案 (1) (2)3 规律方法 比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断,深度思考 你知道奇偶性与单调性的关系了吗(奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反)？在解决有关偶函数问题时，常利用f(x)f(|x|)这一结论进行转化,易错防范 1在用函数奇偶性的定义进行判断时，要注意自变量在定义域内的任意性不能因为个别值满足f(x)f(x)，就确定函数的奇偶性 2分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性 3函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.,
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