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第三节 函数的奇偶性与周期性,最新考纲展示 1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性,一、函数的奇偶性,二、周期性 1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期,f(xT)f(x),存在一个最小,最小正数,7对称性与周期的关系 (1)若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期 (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期 (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期,1(2014年高考新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C. 答案：C,2(2014年高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)( ) A3 B1 C1 D3 解析：解法一 f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21，又由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)1，故选C. 解法二 令f(x)x21，g(x)x3，显然符合题意， f(1)g(1)121131.选C. 答案：C,函数奇偶性的判定(自主探究),(2)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件,当x0时，x0，f(x)x2x， f(x)(x)2x x2x (x2x) f(x) 所以对于x(，0)(0，)， 均有f(x)f(x) 函数为奇函数,(2)若f(x)是奇函数，则对任意的xR，均有f(x)f(x)，即|f(x)|f(x)|f(x)|， 所以y|f(x)|是偶函数，即y|f(x)|的图象关于y轴对称 反过来，若y|f(x)|的图象关于y轴对称，则不能得出yf(x)一定是奇函数，比如y|x2|，显然，其图象关于y轴对称，但是yx2是偶函数故“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的必要而不充分条件 答案 (1) (2)B,规律方法 (1)判定函数奇偶性的常用方法及思路： 定义法：,图象法：,性质法：a.“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶； b“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶； c“奇偶”是奇，“奇偶”是奇 (2)判断函数奇偶性时应注意问题： 分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 “性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 性质法在小题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程,例2 (2014年天水一模)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2 014)的值为( ) A2 B0 C2 D2 解析 g(x)f(x1)，g(x)f(x1) 又g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)， 则f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 014)f(2)2. 答案 A 规律方法 函数周期性的判断要结合周期性的定义，还可以利用图象法及总结的几个结论，如f(xa)f(x)T2a.,函数的周期性(师生共研),(2014年信阳二模)函数f(x)lg|sin x|是( ) A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为2的偶函数 解析：易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y|sin x|的最小正周期为，所以函数f(x)lg|sin x|是最小正周期为的偶函数 答案：C,考情分析 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主 归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数值 (2)与函数图象有关的问题 (3)奇偶性、周期性单调性的综合,函数奇偶性、周期性等性质的综合应用(高频研析),答案：,规律方法 应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 (3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解 (4)应用奇偶性画图象和判断单调性.,
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