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第十二节 导数的综合应用,最新考纲展示 1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 2.会利用导数解决某些实际问题,一、函数的最值与导数 1函数yf(x)在a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0) 2函数yf(x)在a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 f(x0),不超过,不小于,二、生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,1极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 2求函数在某个闭区间a，b上的最值，只需求出函数在区间a，b内的极值及在区间端点处的函数值，大的是最大值，小的是最小值,1函数f(x)x44x3在区间2,3上的最小值为( ) A72 B27 C2 D0 解析：f (x)4x340x1，当x1时f (x)0，x1时f (x)0，故f(x)在2,3上的最小值为f(1)，f(1)1430，故选D. 答案：D,解析：由yx239x400， 得x1或x40， 由于040时，y0. 所以当x40时，y有最小值 答案：40,函数的最值与导数(师生共研),规律方法 (1)求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 (2)分类讨论时，标准必须统一，分类后要做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨论，层次分明，能避免分类的题目不要分类 (3)分类讨论的步骤： 确定分类讨论的对象和分类标准 合理分类，逐类讨论 归纳总结，得出结论,解析：(1)f (x)3x26ax3x(x2a)， 令f (x)0，得x10，x22a. 当a0时，02a，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表： 所以函数f(x)的增区间是(，0)和(2a，)，减区间是(0,2a),当a0时，2a0，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表： 所以函数f(x)的增区间是(，2a)和(0，)，减区间是(2a,0),例2 某开发商用9 000万元在市区购买一块土地，用于建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元 (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数yf(x)的表达式；(总开发费用总建筑费用购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？,生活中的优化问题(师生共研),解析： (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4 0002 0008 000 000(元)800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多 1002 000200 000(元)20(万元)， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为 yf(x)800x209 000 10x2790x9 000(xN*),规律方法 (1)解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法，而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点 (2)利用导数解决优化问题的步骤： 审题，设未知数结合题意列出函数关系式确定函数的定义域在定义域内求极值、最值下结论,(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9) 令y0，得x2(舍去)或x9， 显然，当x(6,9)时，y 0； 当x(9,11)时，y 0. 函数y2x333x2108x108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的 当x9时，y取最大值，且ymax135， 售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元,导数在不等式中的应用(师生共研),函数f(x)的单调递增区间是(3a，a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)，(a，),当a0时，f (x)，f(x)随着x的变化如下表： 函数f(x)的单调递增区间是(a，3a)，函数f(x)的单调递减区间是(，a)，(3a，),规律方法 利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口,3(2013年高考新课标全国卷)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围,
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