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最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解 有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题,第2讲 空间点、线、面的位置关系,1平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,知 识 梳 理,两点,不在一条直线上,一个,(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2：经过两条_直线有且只有一个平面 推论3：经过两条_直线有且只有一个平面 2空间中两直线的位置关系 (1)位置关系的分类,相交,平行,平行,相交,任何,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作 直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围：_ (3)平行公理和等角定理 平行公理：平行于_的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_,锐角(或直角),同一条直线,相等或互补,3空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有_、 _ 、 _三种情况 (2)平面与平面的位置关系有_ 、 _两种情况,相交,平行,在平面内,平行,相交,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)梯形可以确定一个平面 ( ) (2)圆心和圆上两点可以确定一个平面 ( ) (3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad. ( ) (4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线 ( ),诊 断 自 测,2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾 答案 C,3下列命题正确的个数为 ( ) 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A0 B1 C2 D3 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说明三个交点是否共线，不正确 答案 C,4(2014广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是( ) Al1l4 Bl1l4 Cl1与l4既不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定 解析 构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1 D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为 B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故 排除A，B，C，选D. 答案 D,5(2015成都诊断)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为_,考点一 平面基本性质的应用 【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是 ( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3,(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是 ( ) A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 解析 (1)正确，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形,(2)如图所示，作RGPQ交C1D1于G， 连接QP并延长与CB延长线交于M， 且QP反向延长线与CD延长线交于N， 连接MR交BB1于E，连接PE，则PE， RE为截面与正方体的交线，同理连 接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形PQFGRE. 答案 (1)B (2)D,规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置,【训练1】 如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_,解析 可证中的四边形PQRS为梯形； 中，如图所示，取A1A和BC的中点分 别为M，N，可证明PMQNRS为平面图 形，且PMQNRS为正六边形；中， 可证四边形PQRS为平行四边形；中， 可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面 答案 ,考点二 空间两条直线的位置关系 【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_,解析 把正四面体的平面展开图还原如 图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN 为异面直线，GH与MN成60角， DEMN. 答案 规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,【训练2】 (1)(2014余姚模拟)如图，在正 方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别 是BC1，CD1的中点，则下列说法错误 的是 ( ) AMN与CC1垂直 BMN与AC垂直 CMN与BD平行 DMN与A1B1平行,(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),解析 (1)如图，连接C1D，BD，AC， 在C1DB中，MNBD，故C正确； CC1平面ABCD，CC1BD， MN与CC1垂直，故A正确； ACBD，MNBD，MN与AC垂 直，故B正确； A1B1与BD异面，MNBD， MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.,(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面 答案 (1)D (2),考点三 求异面直线所成的角 【例3】 如图，在四棱锥PABCD中，底 面是边长为2的菱形，DAB60， 对角线AC与BD交于点O，PO平面 ABCD，PB与平面ABCD所成角为60. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值 解 (1)在四棱锥PABCD中， PO面ABCD， PBO是PB与面ABCD所成的角，即PBO60，,在RtABO中，AB2，OAB30， BOABsin 301， PO面ABCD，OB面ABCD，POOB，,(2)取AB的中点F，连接EF，DF， E为PB中点，EFPA， DEF为异面直线DE与PA所成角 (或其补角),规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移,【训练3】 (2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点 (1)若直线AB与CD所成的角为60，则直线AB和MN所成的角为_ (2)若直线ABCD，则直线AB与MN所成的角为_,所以MPN(或其补角)为 AB与CD所成的角 则MPN60或 MPN120， 若MPN60，,因为PMAB， 所以PMN(或其补角)是AB与MN所成的角 又因为ABCD， 所以PMPN， 则PMN是等边三角形， 所以PMN60， 即AB与MN所成的角为60. 若MPN120， 则易知PMN是等腰三角形 所以PMN30， 即AB与MN所成的角为30. 综上直线AB和MN所成的角为60或30.,法二 由ABCD，可以把该三棱 锥放在长方体AA1BB1C1CD1D中 进行考虑，如图， 由M，N分别是BC，AD的中点， 所以MNAA1，即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角 连接A1B1交AB于O， 所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30. 所以直线AB和MN所成的角为60或30.,由于ABCD，所以MPN90. 又ABCD，所以PMPN，从而PMN45， 即AB与MN所成的角为45. 答案 (1)60或30 (2)45,思想方法 1主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上,2判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解,易错防范 1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内” 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件 4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角,
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